Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+3（a＜0）的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M．

（1）求点D、点M的坐标；

（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上，且有MA∥DP，DP=AM，求该抛物线解析式．

Answer 1

【答案】（1）D(2,3)，M（2,0）；（2）y=﹣x2+6x﹣3

【解析】

（1）由y=ax2-4ax+4a+3=a（x-2）2+3，即可得到顶点D(2,3)，M（2,0）；（2）作PN⊥DM于N，由△PDN∽△MAO，得由OM=2,OA=-4a-3,PN=1，故P（1，a+3）,DN=-a,根据OA=2DN,可得方程-4a-3=-2a，即可解出a的值.

解：（1）∵y=ax2-4ax+4a+3=a（x-2）2+3，

∴顶点D(2,3)，M（2,0）；

（2）作PN⊥DM于N，

∵AM∥DP，∴∠PDN=∠AMG，

∵DG∥OA,

∴∠OAM=∠AMG=∠PDN，

∵∠PND=∠MAO=90°，

∴△PDN∽△MAO，

∴

∵OM=2,OA=-4a-3,PN=1，

∴P（1，a+3）

∴DN=-a,

∵OA=2DN,

∴-4a-3=-2a，

a=-

∴解析式为y=﹣x2+6x﹣3