【题目】操作:和都是等边三角形,绕着点按顺时针方向旋转,是、的中点,有以下三种图形.
探究:
(1)在上述三个图形中,是否一个固定的值,若是,请选择任意一个图形求出这个比值;
(2)的值是否也等于这个定值,若是,请结合图(1)证明你的结论;
(3)与有怎样的位置关系,请你结合图(2)或图(3)证明你的结论.
【答案】(1)是一个固定的值,,证明见解析;(2)的值是等于这个定值,证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
(1)由等边三角形的性质可得AO⊥BC,BO=BC=AB,根据勾股定理计算即可求得AO= BO,即AO∶BO是一个固定的值 ∶1;
(2)由等边三角形的性质可得AO⊥BC, ,由同角的余角相等可得,由(1)可得,可得,根据相似三角形的性质可得;
(3)在图(3)中,由(2)得,根据相似三角形的性质可得∠1=∠2,根据对顶角相等得∠3=∠4,则∠2+∠4=∠1+∠3=∠AOB=90°,即.
(1)解:∵是等边三角形,由图(1)得AO⊥BC,
∴,∴;
(2)证明:,
,
∴
∴
∴
(3)证明:在图(3)中,由(2)得
∴,
∴∠2+∠4=∠1+∠3,即∠AEF =∠AOB
∵∠AOB=90°,
∴
∴.
故答案为:(1)是一个固定的值,,证明见解析;(2)的值是等于这个定值,证明见解析;(3)证明见解析.
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【题目】如图,一次函数y=-2x+8与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(m,6),B(3,n)两点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)根据图象直接写出关于x的不等式-2x+8->0的解集.
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【题目】要修一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(3,0),B(﹣5,0),C(0,﹣5)三点,O为坐标原点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)把抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向上平移个单位长度,再向左平移n(n>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点M在△ABC内,求n的取值范围;
(3)设点P在y轴上,且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA,求CP的长.
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【题目】如图,它是一个8×10的网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点均在格点上.
(1)画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1.
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.
(3)△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗?如果是,请画出对称轴.△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形.
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【题目】已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,则下面说法正确的是( )
A. 1一定不是方程x2+bx+a=0的根B. 0一定不是方程x2+bx+a=0的根
C. ﹣1可能是方程x2+bx+a=0的根D. 1和﹣1都是方程x2+bx+a=0的根
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+4a+3(a<0)的顶点为D,它的对称轴与x轴交点为M.
(1)求点D、点M的坐标;
(2)如果该抛物线与y轴的交点为A,点P在抛物线上,且有MA∥DP,DP=AM,求该抛物线解析式.
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【题目】如图,在中,,
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图(保留作图痕迹),①作的平分线,交斜边AB于点D;②过点D作AC的垂线,垂足为E.
(2)在(1)作出的图形中,若,则DE= .
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