Question

【题目】已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.

(1)如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC.

(2)如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC.

(3)猜想，若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）不一定成立

【解析】

（1）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B=∠C，根据等角对等边的性质，即可证得AB=AC；

（2）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根据等边对等角的性质，易证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边的性质，AB=AC；

（3）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根据等边对等角的性质，易证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边的性质，AB=AC．

详证明：（1）过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，

则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，

则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠DBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）不一定成立．

证明：如图3，过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，

则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠DBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠DBC=∠ECB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．

如图4，可知AB≠AC．