Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．
（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；
（2）若 =2，求 的值；
（3）若 =n，当n为何值时，MN∥BE？

Answer 1

【答案】
（1）解：当F为BE中点时，如图1，则有BF=EF．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，AB∥DC，

∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．

在△BMF和△ECF中，

，

∴△BMF≌△ECF，

∴BM=EC．

∵E为CD的中点，

∴EC= DC，

∴BM=EC= DC= AB，

∴AM=BM=EC

（2）解：如图2所示：

设MB=a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，

∴△ECF∽△BMF，

∴ =2，

∴EC=2a，

∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB﹣MB=3a．

∵ =2，

∴BC=AD=2a．

∵MN⊥MC，

∴∠CMN=90°，

∴∠AMN+∠BMC=90°．

∵∠A=90°，

∴∠ANM+∠AMN=90°，

∴∠BMC=∠ANM，

∴△AMN∽△BCM，

∴ ，

∴ = ，

∴AN= a，ND=AD﹣AN=2a﹣ a= a，

∴ = =3

（3）解：当 =n时，如图3：

设MB=a．

∵△MFB∽△CFE，

∴ = ，即 ，解得EC=an．

∴AB=2an．

又∵ =n，

∴ ，

∴BC=2a．

∵MN∥BE，MN⊥MC，

∴∠EFC=∠HMC=90°，

∴∠FCB+∠FBC=90°．

∵∠MBC=90°，

∴∠BMC+∠FCB=90°，

∴∠BMC=∠FBC．

∵∠MBC=∠BCE=90°，

∴△MBC∽△BCE，

∴ ，

∴ ，

∴n=4．

【解析】（1）如图1，易证△BMF≌△ECF，则有BM=EC，然后根据E为CD的中点及AB=DC就可得到AM=EC；（2）如图2，设MB=a，易证△ECF∽△BMF，根据相似三角形的性质可得EC=2a，由此可得AB=4a，AM=3a，BC=AD=2a．易证△AMN∽△BCM，根据相似三角形的性质即可得到AN= a，从而可得ND=AD﹣AN= a，就可求出 的值；（3）如图3，设MB=a，依据相似三角形的性质可得BC=2a，CE=na．由MN∥BE，MN⊥MC可得∠EFC=∠HMC=90°，从而可证到△MBC∽△BCE，然后根据相似三角形的性质即可求出n的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．