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【题目】已知:ABO的直径,弦CDAO,垂足为点E,连接AD,点NAD上一点,连接CNAE于点F,延长CNO与点M,连接AMMD

(1)如图1,求证:∠AMC=∠MCD+ADM

(2)如图2,连接BC,过点AAGADO与点G,求证:AGBC

(3)如图3,在(2)的条件下,ANND,延长CM至点KMK2MN6FE3,连接KAGC,并延长KAGC交于点H,求HG的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)HG

【解析】

1)连接ACAB为⊙O的直径,弦CDAO,得,∠ADC=ACM+MCD,再由同弧所对的圆周角相等即可得证;

2)根据等角的余角相等可得:∠ABC=BAG,再根据同圆中,相等的圆周角所对的弧相等可得:,易证结论;

3)过点DDRAECKR,易证:ANF≌△DNRASA),得到:AF=DR=6,再过点AATDMCM于点T,求得TA=TM=MD=MK=6,过点OOWMD,连接OMODOC,可求得FE=OE=3OC=CF=OA=12AK=AD=6,过点NNLAK于点L,设AL=a,通过构建方程求a,可求得:sinHAG=sinLNA=,最后过点HHQAG于点Q,设HA=8bHQ=7b,构建方程即可得解.

(1)证明:如图1,连接AC

AB为⊙O的直径,弦CDAO

∴∠ADC=∠ACD,即∠ADC=∠ACM+MCD

∴∠ACM=∠ADM,∠ADC=∠AMC

∴∠AMC=∠ADM+MCD

(2)证明:∵CDAO

∴∠AED90°

∴∠BAD+ADC90°

∵∠ADC=∠ABC

∴∠BAD+ABC90°

∵∠BAD+BAG90°

∴∠ABC=∠BAG

,即:

AGBC

(3)如图3,过点DDRAECKR

AB为直径,CDAO

CEDE

CFFR

DR2EF2×36

DRAE

∴∠FAN=∠RDN

ANND,∠ANF=∠DNR

∴△ANF≌△DNR(ASA)

AFDR6

过点AATDMCM于点T,∴∠TAN=∠MDN

ANND,∠ANT=∠DNM

∴△ANT≌△DNM(ASA)

TAMDTNMN

2MNMK

2TN2MNTMMK6

∴∠MAD=∠MCD

∵∠AMC=∠ADM+MCD

∴∠AMC=∠TAN+MAD=∠TAM

TATMMDMK6

过点OOWMD,连接OMODOC,∵OMOD

MWDWMD3,∠MOW=∠DOWMOD

FEMW3

2DCM=∠MOD

∴∠MCD=∠MOW=∠DOW

∵∠FEC=∠MWO90°

∴△FEC≌△MWO(AAS)

OMCFOC

FEOE3OCCFOA3+3+612

RtCEF中,

RtAED中,

RtBCE中,

∵∠AMD180°﹣∠MDA﹣∠MAD180°﹣∠AMC=∠AMKAMAMMDMK

∴△AMD≌△AMK(SAS)

AKAD6

过点NNLAK于点L,则∠ALN90°,设ALaLK6a

ANNDAD3NK3+69NL2AN2AL2NK2KL2

,解得:

∵∠GAD90°,∠LAN+LNA90°=∠LAN+HAG

∴∠HAG=∠LNA

过点HHQAG于点Q

HA8bHQ7b,则

AGBC6

QG6b

∵∠AGC=∠ABC

tanAGCtanABC

,解得:b

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男、女生所选项目人数统计表

项目

男生(人数)

女生(人数)

机器人

7

9

3D打印

m

4

航模

2

2

其他

5

n

根据以上信息解决下列问题:

(1)m=_____,n=_____

(2)扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为_____°;

(3)从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练,请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.

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