Question

20．如图，在平面直角坐标系xoy中，等边三角形OAC的边长为2，点B是x轴正半轴上的动点，以AB为边向上作等边△ABE

（1）如图1，当∠OAB=90°时，求直线CE的解析式．
（2）连接CE，如图2
①判断CE与BO是否相等，并说明理由；
②设点E的横坐标为m，求出点E的坐标（用含m的式子表示）并判断点E是否一定在（1）中所求的直线CE上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形和直角三角形的性质求出OB和AB的长，即可得到C（2，0），E（4，2$\sqrt{3}$），再用待定系数法求出解析式；
（2）①证出△OAB≌△CAE，易得CE=BO；②作AG⊥OB，EF⊥OB，证明△AGC∽△EFC，利用相似三角形对应边成比例列比例式，求出点E的坐标，再把点E的坐标代入直线解析式即可判断点E一定在这条直线上．

解答 解：
（1）∵∠OAB=90°，△ABE是等边三角形，
∴∠ABO=30°，
∵等边△OAC的边长是2，
∴OB=4，AB=BE=2$\sqrt{3}$，
∴C（2，0），E（4，2$\sqrt{3}$）
设直线CE的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CE的解析式为y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$；
（2）①CE=BO．
理由如下：
∵△OAC和△ABE是等边三角形，
∴AO=AC，AE=AB，∠OAC=∠BOE=60°，
∴∠OAC+∠CAB=∠BOE+∠CAB，
即∠OAB=∠CAE，
在△OAB和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AC}\\{∠OAB=∠CAE}\\{AE=AB}\end{array}\right.$
∴△OAB≌△CAE（SAS）
∴CE=BO；
②如图2，作AG⊥OB，EF⊥OB，

∵△OAB≌△CAE，
∴∠AOB=∠ACE=60°，
∴∠ECF=60°，
∴△AGC∽△EFC，
∴$\frac{AG}{EF}$=$\frac{GC}{FC}$，
由题意知，CG=1，AG=$\sqrt{3}$，CF=m-2
∴EF=$\sqrt{3}$m-2$\sqrt{3}$，
∴点E的坐标为：（m，$\sqrt{3}$m-2$\sqrt{3}$）．
把E点坐标代入代入y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
检验，左边=右边，
∴点E一定在直线CE上．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及等边三角形、直角三角形的性质、待定系数法、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质等知识．在（1）中求得E点坐标是解题的关键，在（2）中证明三角形全等和相似是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．