Question

如图，已知PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C在PB上，且CO∥PA，CD⊥PA于点D．
（1）求证：CO=DA；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OA，由切线的性质可知OA⊥AP，再由CD⊥AP可知四边形ANMO是矩形，故可得出结论；
（2）连接OB，则OB⊥BP由OA=MN，OA=OB，CO∥AP．可知OB=CD，∠OCB=∠DPC．故可得出Rt△OCB≌△CPD，OC=CP，PD=BC，在Rt△CDP利用勾股定理即可求PC的值，进而求得AD的长．

解答：（1）证明：如图，连接OA，则OA⊥AP，
∵CD⊥AP，
∴CD∥OA，
∵CO∥AP，
∴四边形ANMO是矩形，
∴CO=DA；

（2）解：连接OB，则OB⊥BP
∵OA=CD，OA=OB，CO∥AP．
∴OB=CD，∠OCB=∠DPC，
在△OCB和△CPD中，

∠OCB=∠DPC ∠OBC=∠PDC=90° OB=CD

，
∴△OCB≌△CPD（AAS），
∴OC=CP，PD=BC=8，
在Rt△MNP中，有PC²=CD²+PD²，
即PC²=6²+8²，
∴PC=10，
∴AD=10．

点评：本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，在解答此类题目时往往连接圆心与切点，构造出直角三角形，再根据直角三角形的性质解答．