Question

如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：AF=DE；
（2）连结DF、EF，设AE=x，三角形的面积为y，用含x的代数式表示y；
（3）如果△DEF的面积为

13

2

，求FG的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先证得∠AED=∠AFB，很容易证明△ABF与△DAE全等，即可证得AF=DE．
（2）根据△DEF的面积=S_正方形-S_△ADE-S_△EBF-S_△DCF即可用含x的代数式表示y；
（3）根据三角形的面积求得AE，再根据勾股定理求得DE，然后根据三角形的面积公式即可求得FG．

解答：解：（1）∵AF⊥DE，∠B=90°，
∴∠AED=∠AFB，
在△ABF与△DAE中，

∠AED=∠AFB ∠DAE=∠B AD=AB

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF=DE；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴AE=BF=x，
∴BE=CF=4-x，
∴△DEF的面积=S_正方形-S_△ADE-S_△EBF-S_△DCF=4×4-

1

2

×4•x-

1

2

（4-x）•x-

1

2

×4•（4-x）=8-2x+

1

2

x²，
∴y=

1

2

x²-2x+8．
（3）∵△DEF的面积为

13

2

，
∴

1

2

x²-2x+8=

13

2

，
解得，x₁=3，x₂=1，
∴AE=3或AE=1，
∴DE=

AD2+AE2

=5或

17

，
∵S_△DEF=

1

2

DE•FG，
∴FG=

2S△DEF

DE

=

2× 13 2

5

=

13

5

或FG=

2× 13 2

17

=

13 17

17

．

点评：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系．