Question

如图，已知PB切⊙O于B，PDC是割线，弦AB∥CD，M为

CD

上一点，AM、BM分别交CD于E、F，求证：CF•DF=EF•PF．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据切线的性质，得出∠PBM=∠A，然后根据平行线的性质得出∠MEF=∠A，进而得出∠MEF=∠PBM，得出△EFM∽△BFP，根据相似三角形的对应边的性质求得EF•PF=BF•MF，根据相交弦的性质得出CF•DF=BF•MF，即可证得CF•DF=EF•PF．

解答：证明：∵PB切⊙O于B，
∴∠PBM=∠A，
∵AB∥CD，
∴∠MEF=∠A，
∴∠MEF=∠PBM，
∵∠EFM=∠PFB，
∴△EFM∽△BFP，
∴

EF

BF

=

MF

PF

，
∴EF•PF=BF•MF，
∵CF•DF=BF•MF，
∴CF•DF=EF•PF．

点评：本题考查了切线的性质，相交弦定理的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质和定理是本题的关键．