Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中结论正确的序号是_____．

Answer 1

【答案】①③．

【解析】

证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可判断①．证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得判断②．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可判断③．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可判断④．

如图，连接DF．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，

由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，

∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，

∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），

∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x，

∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，

在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，

∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，

∴x＝6，

∵CD＝BC＝BE+EC＝12，

∴DG＝CG＝6，

∴FG＝GC，

易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，

∵GF＝GD＝GC，

∴∠DFC＝90°，

∴CF⊥DF，

∵AD＝AF，GD＝GF，

∴AG⊥DF，

∴CF∥AG，故③正确，

∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，

∴FG：EG＝3：5，

∴S△GFC＝×24＝，故④错误，

故答案为：①③．