Question

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，$\widehat{EF}$经过点C，求：
（1）$\widehat{EF}$的长．
（2）阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据扇形的弧长公式：l=$\frac{nπr}{180}$计算即可；
（2）作OM⊥BC，ON⊥AC，证明△OMG≌△ONH，则S_{四边形OGCH}=S_{四边形OMCN}，求得扇形FOE的面积，则阴影部分的面积即可．

解答 解：（1）$\widehat{EF}$的长为：$\frac{90×π×1}{180}$=$\frac{π}{2}$；
（2）作OM⊥BC，ON⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点O为AB的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=1，四边形OMCN是正方形，OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则扇形FOE的面积是：$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{4}$．
∵OA=OB，∠AOB=90°，点D为AB的中点，
∴OC平分∠BCA，
又∵OM⊥BC，ON⊥AC，
∴OM=ON，
∵∠GOH=∠MON=90°，
∴∠GOM=∠HON，
则在△OMG和△ONH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMG=∠ONH}\\{∠GOM=∠HON}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△ONH（AAS），
∴S_{四边形OGCH}=S_{四边形OMCN}=$\frac{1}{2}$．
则阴影部分的面积是：$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角形的全等的判定、扇形的弧长和扇形的面积的计算的综合题，正确证明△OMG≌△ONH，得到S_{四边形OGCH}=S_{四边形OMCN}是解题的关键．