Question

14．如图，函数y=-x+4的图象与函数$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于A（a，1）、B（1，b）两点．
（1）求k的值；
（2）设y₁=-x+4，${y_2}=\frac{k}{x}$，利用图象分别写出x＞1时y₁和y₂的取值范围，以及y₁与y₂的大小关系．

Answer 1

分析 （1）把A（a，1）、B（1，b）函数y=-x+4得到a，b的值，再把A（3，1）或B（1，3）代入y=$\frac{k}{x}$得k的值；
（2）当一次函数的值＞反比例函数的值时，直线在双曲线的上方，当一次函数的值＜反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值时x的取值范围．

解答 解：∵函数y=-x+4的图象与函数$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于A（a，1）、B（1，b）两点．
∴1=-a+4，b=-1+4，
解得：a=3，b=3，
∴A（3，1），B（1，3），
把A（3，1）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=3；

（2）由图象知：
函数y=-x+4的函数值y随x的增大而减小，函数$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的函数值y随x的增大而减小，
∴当x≥1时，y_1≤3，y_2≤3，
当1＜x＜3时，y₁＞y₂，
当x≥3时，y₁≤y₂．

点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式与利用一次函数的解析式求点的坐标，根据图象判断函数值的取值范围和反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．