Question

【题目】根据题意，解答问题：

（1）如图1，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长.

（2）如图2，类比（1）的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点M（3，4）与点N（﹣2，﹣1）之间的距离.

（3）在（2）的基础上，若有一点D在x轴上运动，当满足DM=DN时，请求出此时点D的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点D的坐标为（2，0）.

【解析】分析：（1）由一次函数解析式求得点A、B的坐标，则易求直角△AOB的两直角边OB、OA的长度，所以在该直角三角形中利用勾股定理即可求线段AB的长度；

（2）如图2，过M点作x轴的垂线MF，过N作y轴的垂线NE，MF和NE交于点C，构造直角△MNC，则在该直角三角形中利用勾股定理来求求点M与点N间的距离；

（3）如图3，设点D坐标为（m，0），连结ND，MD，过N作NG垂直x轴于G，过M作MH垂直x轴于H．在直角△DGN和直角△MDH中，利用勾股定理得到关于m的方程12+（m+2）=42+（3-m）2

通过解方程即可求得m的值，则易求点D的坐标．

详解：（1）令x=0，得y=4，即A（0，4）．

令y=0，得x=-2，即B（-2，0）．

在Rt△AOB中，根据勾股定理有：

AB＝；

（2）如图2，过M点作x轴的垂线MF，过N作y轴的垂线NE，MF和NE交于点C．

根据题意：MC=4-（-1）=5，NC=3-（-2）=5．

则在Rt△MCN中，根据勾股定理有：

MN＝；

（3）如图3，设点D坐标为（m，0），连结ND，MD，

过N作NG垂直x轴于G，过M作MH垂直x轴于H．

则GD=|m-（-2）|，GN=1，DN2=GN2+GD2=12+（m+2）2

MH=4，DH=|3-m|，DM2=MH2+DH2=42+（3-m）2

∵DM=DN，

∴DM2=DN2

即12+（m+2）=42+（3-m）2

整理得：10m=20得m=2

∴点D的坐标为（2，0）．