Question

已知?ABCD中，AB=1，E是射线DC上一点，直线AC、BE交于点P，过点P作PQ∥AB，PQ交直线AD于点Q．求：
（1）当点E是DC中点时，求线段PQ的长度；
（2）当点E在线段DC上运动时，设DE=x，PQ=y，求y关于x的解析式；
（3）当DE的长度为多少时，

DE

PQ

=

1

2

？

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理，得到

PQ

DC

=

AP

AC

，求出

AP

AC

=

2

3

，再根据DC=1，求出PQ的长；
（2）由DE=x，则EC=1-x，根据PQ∥DC，求出

PQ

DC

=

AP

AC

，从而得到关于x、y的等式；
（3）当点E在线段DC的延长线上，且点P在线段AC的反向延长线上时，DE=x，EC=x-1，PQ=2x，根据PQ∥AB∥DE，得到

AC

AP

=

DC

PQ

=

1

2x

，

PA

PC

=

AB

CE

=

1

x-1

，从而有

2x

2x+1

=

1

x-1

，整理得2x²-4x-1=0，求出x的值．

解答：解：（1）如图1，
∵平行四边形ABCD，AB=1，
∴CD=1，
∵E为CD中点，
∴CE=DE=

1

2

，
∵PQ∥DC，
∴

PQ

DC

=

AP

AC

，
∵

AP

PC

=2，
∴

AP

AC

=

2

3

，
∴

PQ

1

=

2

3

，
即PQ=

2

3

．
（2）由DE=x，则EC=1-x，
∵PQ∥DC，
∴

PQ

DC

=

AP

AC

，
∵

AP

CP

=

1

1-x

，
∴

AP

AC

=

1

2-x

，
∴y=

1

2-x

（0≤x≤1）．
（3）Ⅰ）点E在线段DC上时，根据y=

1

2-x

，又

DE

PQ

=

1

2

，
∴2x=

1

2-x

，
即2x²-4x+1=0，解得x=

2± 2

2

，
又0≤x≤1，
∴x=

2- 2

2

．
Ⅱ）如图2，点E在线段DC的延长线上，且点P在线段AC的延长线上时，
DE=x，EC=x-1，PQ=2x，
∵PQ∥AB∥DE，
∴

AC

AP

=

DC

PQ

=

1

2x

，

PC

PA

=

CE

AB

=

x-1

1

，
又

AC

AP

+

PC

PA

=1，即

1

2x

+x-1=1，
解得x=

2± 2

2

，又x＞1，
∴x=

2+ 2

2

．
Ⅲ）如图3，当点E在线段DC的延长线上，且点P在线段AC的反向延长线上时，DE=x，EC=x-1，PQ=2x，
∵PQ∥AB∥DE，
∴

AC

AP

=

DC

PQ

=

1

2x

，

PA

PC

=

AB

CE

=

1

x-1

，
∴

2x

2x+1

=

1

x-1

，
∴2x²-4x-1=0，
解得x=

2± 6

2

，
又x＞1，
∴x=

2+ 6

2

，
综上，符合条件的DE长度
可以为

2± 2

2

，

2+ 6

2

．

点评：本题主要考查了四边形的性质，同时涉及平行线分线段成比例定理、动点问题、函数、分类讨论等考点，内容复杂，是经典题目．