Question

【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，过A，C分别作AD和BC的垂线，交对角线BD于点E，F，AE＝CF，BE＝DF．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若BC＝4，∠CBD＝45°，且E，F是BD的三等分点，求四边形ABCD的面积．（直接写出结论即可）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）24.

【解析】

（1）证Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），得AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，AD∥BC，故四边形ABCD是平行四边形；（2）过C作CH⊥BD于H，证△CBF是等腰直角三角形，得BF＝BC＝4，CH＝BC＝2，得BD＝6，故四边形ABCD的面积＝BDCH．

（1）证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，

∴∠DAE＝∠BCF＝90°，

∵BE＝DF，

∴BE+EF＝DF+EF，

即BF＝DE，

在Rt△ADE与Rt△CBF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），

∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：过C作CH⊥BD于H，

∵∠CBD＝45°，

∴△CBF是等腰直角三角形，

∴BF＝BC＝4，CH＝BC＝2，

∵E，F是BD的三等分点，

∴BD＝6，

∴四边形ABCD的面积＝BDCH＝24．