Question

【题目】在△ABC中，已知BC=6，BC边上中线AD=5.点P为线段AD上一点（与点A、D不重合），过P点作EF∥BC，分别交边AB、AC于点E、F，过点E、F分别作EG∥AD，FH∥AD，交BC边于点G、H．

（1）求证：P是线段EF的中点；

（2）当四边形EGHF为菱形时，求EF的长；

（3） 如果sin∠ADC=，设AP长为x，四边形EGHF面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）y=-x2+5x(0<x<5)

【解析】

试题（1）利用EF∥BC，得出△AEP∽△ABD，△AFP∽△ACD，得出，又BD=CD，则得出结论；（2）由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，得出（相似三角形对应中线的比等于对应边的比），则可求出EF；（3）过点P作PQ⊥BC于Q，易知四边形EGHF是平行四边形，根据S四边形EGHF=GH×PQ=EF×PQ=y，利用△AEF∽△ABC，求得EF，利用sin∠ADC=求得PQ，则可得y关于x的关系式.

解：（1）∵EF∥BC，∴△AEP∽△ABD，△AFP∽△ACD，

∴，，∴，

又∵BD=CD，∴EP=FP，即P是EF中点．

（2）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，

∴，

设EF=a，则EG=EF=a，

∵EG∥AD，EF∥BC，∴四边形EGDP是平行四边形，

∴PD=EG=a，∴AP=AD-PD=5-a，∴，解得，即EF=．

（3）如图，过点P作PQ⊥BC于Q，

∵△AEF∽△ABC，∴，即，解得EF=.

∵sin∠ADC==，∴PQ=×PD=（5-x）.

∵EG∥AD，FH∥AD，∴EG∥FH，又∵EF∥BC，

∴四边形EGHF是平行四边形．

∴GH=EF，

∴S四边形EGHF=GH×PQ=EF×PQ=y=×（5-x）=-x2+5x，

其中0<x<5.