Question

19．在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由于点P（2，3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上，首先利用待定系数法求出k的值，得到反比例函数的解析式，把y=2代入，求出a的值，得到点M的坐标，然后利用待定系数法求出直线OM的解析式，把x=2代入，求出对应的y值即为点C的纵坐标，最后根据三角形的面积公式求出△OAC的面积．

解答 解：∵点P（2，3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上，
∴k=2×3=6，
∴y=$\frac{6}{x}$，
当y=2时，x=3，即M（3，2）．
∴直线OM的解析式为y=$\frac{2}{3}$x，
当x=2时，y=$\frac{4}{3}$，即C（2，$\frac{4}{3}$）．
∴△OAC的面积=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是了解：在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{|k|}{2}$，且保持不变．