Question

【题目】已知在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC，在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ=30°.

（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP=3，求线段PC的长；

（2）当点P在射线BA上时，设，求y关于的函数解析式及定义域；

（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果与相似，求线段BP的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（3）或

【解析】

（1）如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，由勾股定理即可解决问题．
（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．证明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ，推出PQ=CQ=y，推出PC=y，在Rt△PHB中，BH=x，PH=x，根据PC2=PH2+CH2，可得结论．
（3）分以下几种情形：①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．③如图④中，点P在AB的延长线上，直线PQ与BC的交点E在线段BC上．分别求解即可.

解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=4，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠A=120°，
∴∠PBH=60°，
∵PB=3，∠PHB=90°，
∴BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=，
∴CH=BC-BH=4-=，
∴PC==．

（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵∠PCQ=30°，
∴∠PBO=∠QCO，
∵∠POB=∠QOC，
∴△POB∽△QOC，
∴，
∴，
∵∠POQ=∠BOC，
∴△POQ∽△BOC，
∴∠OPQ=∠OBC=30°=∠PCQ，
∴PQ=CQ=y，
∴PC=y，
在Rt△PHB中，BH=x，PH=x，
∵PC2=PH2+CH2，
∴3y2=（x）2+（4-x）2，
∴y=（0≤x＜8）.

（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．
此时∠CQE=120°，
∵∠PBC=60°，
∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，
此时△QCE与△BCP不可能相似．

②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．
则∠CQE=∠ABC=∠QBC+∠QCP=60°=∠CBP，
∵∠PCB＞∠E，
∴只可能∠BCP=∠QCE=75°，
作CF⊥AB于F，则BF=2，CF=2，∠PCF=45°，
∴PF=CF=2，
此时PB=2+2.

③如图4中，若点P在AB的延长线上，直线PQ与BC的交点E在线段BC上，

因为∠EQC=∠PBC=120°，

要使与相似，
只有∠QCE=∠PCE=15°，

此时∠BPC=45°，

过点C作CF⊥AB于F，

可得BF=2，CF=2=PF,

此时PB=PF-BF=2-2.

综上所述，满足条件的PB的值为2+2或2-2．