Question

【题目】在平行四边形中，，点，分别在边，上，且．

（1）如图1，若，求证：；

（2）如图2，若，且点为的中点，连接交于点，求；

（3）如图3，若，探究线段、、三之间的数量关系，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）连接AC，根据题意判定平行四边形ABCD为菱形，△ABC为等边三角形，然后利用AAS定理判定△BCE≌△ACF，从而得出BE=AF，使问题得解；

（2）连接AC，过点M作MN⊥CF，由含30°直角三角形的性质求得，，设CN=x，则，然后利用平行判定△FMN∽△FBC，根据相似三角形的性质求得，然后利用勾股定理求解即可；

（3）连接AC，过点A作AK⊥BC，在DA上截取DH=CD，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定△HCD是等边三角形，然后根据AA定理判定△BCE ∽△FCH，根据相似三角形的性质求得，即HF=kBE，从而使问题得解．

解：（1）连接AC

因为在平行四边形ABCD中，，

∴平行四边形ABCD为菱形，△ABC为等边三角形

∴AC=BC，∠B=∠BAC=∠DAC=∠ACB=60°，

又∵

∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠ACF

∴∠BCE=∠ACF

∴△BCE≌△ACF

∴BE=AF

∴AB=AE+BE=

（2）连接AC，过点M作MN⊥CF

由（1）已证，△ABC为等边三角形，△BCE≌△ACF

∵为的中点

∴CE⊥AB

∴在Rt△BCE中，∠BCE=30°

∴，

由题意，∴∠BCF=90°

在Rt△AMCN中，∠CMN=30°

设CN=x，则

∵MN⊥CF

∴MN∥BC

∴△FMN∽△FBC

∴，

解得：

∴

在Rt△FMN中，

（3）由题意可知，在平行四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，

连接AC，过点A作AK⊥BC，在DA上截取DH=CD

∵DH=CD，∠B=∠D=60°

∴△HCD是等边三角形

∴∠HCD=60°

又∵∠ECF=60°

∴∠BCE+∠ECH=∠FCH+∠ECH

∴∠BCE =∠FCH

∴△BCE ∽△FCH

∴，即HF=kBE

∴CD=DF+HF=DF+ kBE

又∵

∴