Question

【题目】如图1，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．

（1）请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系　 　；

（2）现将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H．请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系　 　；

（3）若图2中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图3，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）PM＝PN，PM⊥PN，理由见解析；（3）PM＝kPN，证明见解析.

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性质得出结论判断出△ACE≌△BCD，得出AE=BD，再用三角形的中位线即可得出结论；

（2）同（1）的方法即可得出结论；

（3）利用两边对应成比例夹角相等，判断出△BCD∽△ACE，得出BD=kAE，最后用三角形的中位线即可得出结论．

解：（1）PM＝PN，PM⊥PN，

理由如下：

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．

在△ACE和△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，

∵∠BCD＝90°，

∴∠CBD+∠BDC＝90°，

∴∠EAC+∠BDC＝90°

∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，

∴PM＝BD，PN＝AE，

∴PM＝PN，

∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，

∴PM∥BC，PN∥AE，

∴∠NPD＝∠EAC，∠MPN＝∠BDC，

∵∠EAC+∠BDC＝90°，

∴∠MPA+∠NPC＝90°，

∴∠MPN＝90°，

即PM⊥PN，

故答案为：PM⊥PN，PM＝PN；

（2）PM＝PN，PM⊥PN，

理由：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．

∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE．

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS）．

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD．

又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，

∴∠BHO＝∠ACO＝90°．

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，

∴PM＝BD，PM∥BD；

PN＝AE，PN∥AE．

∴PM＝PN．

∴∠MGE+∠BHA＝180°．

∴∠MGE＝90°．

∴∠MPN＝90°．

∴PM⊥PN．

故答案为：PM⊥PN，PM＝PN；

（3）PM＝kPN，

∵△ACB和△ECD是直角三角形，

∴∠ACB＝∠ECD＝90°．

∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE．

∴∠ACE＝∠BCD．

∵BC＝kAC，CD＝kCE，

∴＝k．

∴△BCD∽△ACE．

∴BD＝kAE，

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，

∴PM＝BD，PN＝AE．

∴PM＝kPN．