【题目】(1)已知某抛物线与抛物线y=﹣2x2+3x﹣1的形状和开口方向都相同,并且其对称轴为x=1,函数的最大值为4,求此抛物线的解析式;
(2)已知一个二次函数图象经过(﹣1,10),(1,4),(2,7)三点,求它的解析式;
(3)某抛物线过点(1,0),(﹣2,0)并且与直线y=2x﹣1的交点的纵坐标为5,求此抛物线的解析式.
【答案】(1)y=﹣2x2+4x+2;(2)y=2x2﹣3x+5;(3).
【解析】
(1)根据抛物线的形状,开口方向与抛物线y=-2x2+3x-1的形状和开口方向都相同,可知a的值,又知抛物线的顶点即可求出解析式;
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把(-1,10),(1,4),(2,7)三点坐标代入,列方程组求a、b、c的值,确定函数解析式;
(3)设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+2),求出抛物线与直线的交点为(3,5),将(3,5)代入抛物线解析式可得a的值.
解:(1)∵抛物线y=﹣2x2+3x﹣1的形状和开口方向都相同,
∴所求抛物线解析式y=﹣2(x﹣h)2+k,
又∵对称轴为x=1,函数的最大值为4,
∴抛物线的解析式为y=﹣2(x﹣1)2+4,即y=﹣2x2+4x+2;
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把(﹣1,10),(1,4),(2,7)各点代入上式得:
,
解得:.
∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x+5;
(3)∵抛物线过点(1,0),(﹣2,0),
∴设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x+2),
抛物线与直线y=2x﹣1的交点的纵坐标为5,
∴5=2x﹣1,
解得:x=3,
∴抛物线与直线y=2x﹣1的交点坐标为(3,5),
将(3,5)代入抛物线解析式可得a(3﹣1)(3+2)=5,
∴a=,
∴抛物线的解析式为y=(x﹣1)(x+2),即.
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【题目】如图,有长为 24m 的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽 AB 为 xm,面积为 Sm2.
(1) 求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围;
(2) 要围成面积为 45m2 的花圃,AB 的长是多少米?
(3) 当 AB 的长是多少米时,围成的花圃的面积最大?
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0),下列结论:①ab<0,②b2>4,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0.其中正确结论的个数是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】在等边三角形ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4,有下列结论:①AE∥BC;②∠ADE=∠BDC;③△BDE是等边三角形;④△ADE的周长是9.其中,正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】如图,点O是等边三角形ABC内的一点,∠AOB=130°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC,连接OD.
(1)判断△COD的形状,并加以说明理由.
(2)若AD=1,OC=,OA=时,求α的度数.
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=﹣x﹣1,双曲线y=,在l上取一点A1,过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1,过B1作y轴的垂线交l于点A2,请继续操作并探究:过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过B2作y轴的垂线交l于点A3,…,这样依次得到l上的点A1,A2,A3,…,An,…记点An的横坐标为an,若a1=2,则a2018=_____;若要将上述操作无限次地进行下去,则a1不可能取的值是_____.
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【题目】阅读资料:阅读材料,完成任务:材料 阿尔·花拉子密(约 780~约 850),著名数学家、天文学家、地理学家,是代数与算术的整理者,被誉为“代数之父”。
他用以下方法求得一元二次方程 x2+2x-35=0 的解:
将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形,外加两个长方形,长为 x,宽为 1,拼合在一起的面积是 x2+2×x×1+1×1,而由 x2+2x-35=0 变形得 x2+2x+1=35+1(如图所示),即右边边长为 x+1 的正方形面积为 36。
所以(x+1)2=36,则 x=5.
任务:请回答下列问题
(1)上述求解过程中所用的方法是( )
A.直接开平方法 B.公式法 C.配方法 D.因式分解法
(2)所用的数学思想方法是( ) 的的
A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.转化思想 D.公理化思想
(3)运用上述方法构造出符合方程 x2+8x-9=0 的一个正根的正方形
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【题目】在□ABCD中,经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A,经过点C的切线与AD的延长线相交于点P,连接AC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=4,⊙O的半径为,求PD的长.
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【题目】如图,直线AB过点A(3,0),B(0,2)
(1)求直线AB的解析式。
(2)过点A作AC⊥AB且AC∶AB=3∶4,求过B、C两点直线的解析式.
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