Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF交于G、H．

（1）求证：△ABE∽△ADF；

（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）菱形，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的对角相等，以及垂直的定义可得△ABE和△ADF的两角对应相等，则两个三角形相似；

（2）证明△ABG≌△ADH，则AB=AD，从而证得四边形是菱形．

试题解析：（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABE=∠ADF，

∴△ABE∽△ADF（有两角相等的三角形是相似三角形）

（2）∵△ABE∽△ADF，

∴∠BAG=∠DAH，

∵AG=AH，

∴∠AGH=∠AHG，

从而∠AGB=∠AHD，

∴△ABG≌△ADH（ASA），

∴AB=AD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）