Question

【题目】综合与实践

问题情境

在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．

操作发现

（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是　 　．

（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论．

拓展探索

（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）平行四边形；（2）证明见解析（3）四边形AEDG是平行四边形．

【解析】试题分析：（1）由旋转的性质和旋转角度可求得DE∥AF，且DE＝AF，可证明四边形AFDE为平行四边形；

（2）由旋转的性质和旋转角度可求得DE∥AF，且DE＝AF，可证明四边形AFDE为平行四边形，再由旋转角是90°，即可得出结论；

（3）由旋转的性质和旋转角度判断出△ABE≌△DFG即可得出结论．

试题解析：

（1）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的．

∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，

∴∠DEB＝∠BAF，

∴DE∥AF，

∵DE＝AF，

∴四边形AFDE是平行四边形，

故答案为：平行四边形；

（2）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，

∴∠DBA＝∠FAB＝90°，DB＝AB＝AF，

∴∠DBA＋∠FAB＝180°，

∴DB∥AF，

∵DB＝AF，

∴四边形DBAF是平行四边形，

∵∠DBA＝90°

∴平行四边形DBAF是正方形．

（3）四边形AEDG是平行四边形．

证明：∵四边形ABDF是正方形，

∴∠DFA＝∠DBA＝90°，AB＝DF，

又∵∠DBE＝∠AFG＝α，

∴∠EBA＝∠GFD．

在△ABE和△DFG中，，

∴△ABE≌△DFG，

∴AE＝DG，

又∵DE＝AG＝AB，

∴四边形DEAG是平行四边形．