Question

已知：如图，在直角坐标平面中，点A在x轴的负半轴上，直线y=kx+

3

经过点A，与y轴相交于点M，点B是点A关于原点的对称点，过点B的直线BC⊥x轴，交直线y=kx+

3

于点C，如果∠MAO=60°．
（1）求这条直线的表达式；
（2）将△ABC绕点C旋转，使点A落到x轴上另一点D处，此时点B落在点E处．求点E的坐标．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,坐标与图形变化-旋转

专题：

分析：（1）设A（-a，0），则B（a，0），直线BC的解析式为x=a，AB=2a，把点A代入可得出关于ka的表达式，由∠MAO=60°可表示出C点坐标，再根据点C在直线上可得出k、a的值，进而得出结论；
（2）根据题意画出图形，由k=

3

，a=1得出AB，AC，BC的长及C点坐标，过点E作EF⊥x轴于点F，根据△DEC由△ABC旋转而成得出CD=AC，DE=AB，根据相似三角形的判定定理得出△CBD∽△EFD，故

DE

CD

=

EF

BC

=

DF

BD

，由此可得出结论．

解答：解：（1）设A（-a，0），则B（a，0），直线BC的解析式为x=a，AB=2a，
∵点A在直线y=kx+

3

上，
∴-ka+

3

=0①．
∵∠MAO=60°，
∴BC=ABtan60°=2a×

3

=2

3

a，
∴C（a，2

3

a），AC=4a，
∵点C在直线AC上，
∴ka+

3

=2

3

a②，
①②联立得，k=

3

，a=1，
∴这条直线的表达式为y=

3

x+

3

；

（2）如图所示，
∵k=

3

，a=1，
∴AB=2，AC=4，BC=2

3

，C（1，2

3

），
过点E作EF⊥x轴于点F，
∵△DEC由△ABC旋转而成，
∴CD=AC=4，DE=AB=2，
∵CB⊥AD，
∴AB=BD，
∴D（3，0），∠ADC=∠CAB=60°．
∵∠CDE=∠CAB=60°，
∴∠EDF=60°．
∵∠EDF=∠CDB，∠CBD=∠EFD，
∴△CBD∽△EFD，
∴

DE

CD

=

EF

BC

=

DF

BD

，即

2

4

=

EF

2 3

=

DF

2

，解得EF=

3

，DF=1，
∴OF=1+2+1=4，
∴E（4，1）．

点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．