Question

【题目】已知如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

（1）在图l中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？

（3）如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的长为5．

【解析】

（1）利用旋转的性质和正方形的性质，证明即可求证；

（2）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出答案；

（3）在上取一点，使，先证明，再证明，得到EF=FG，设，用含x的代数式表达GC和EF，根据勾股定理列出方程，解出x的值即可．

（1）证明：∵，

∴，，

∵∠EAF=45°，

∴∠DAF+∠BAE=45°，即∠GAB+∠BAE=45°，

∴∠GAE=∠EAF，

∴在△GAE和△FAE中，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）解：在上取一点，使，

，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠ADG=∠ABE=90°，

又∵DG=BE，

∴，

∴，，

∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°，

∴∠GAD+∠BAF=45°，

∴∠GAF=45°，即∠EAF=∠GAF，

∴，

∴，

即；

（3）解：在上取一点，使，

∵，

∴∠D+∠ABC=180°，

∵∠ABE+∠ABC=180°，

∴∠D=∠ABE，

又∵AB=AD，DG=BE，

∴，

∴，，

∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°，

∴∠GAD+∠BAF=45°，

∴∠GAF=45°，即∠EAF=∠GAF，

∴，

∴EF=FG

设

∴，

∴

在中，

∴，

解得：，

答：的长为5．