【题目】如图,ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠ACB的平分线CD交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线PD,交CA的延长线于点P,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F.
(1)求证:PD//AB;
(2)求证:DE=BF;
(3)若AC=6,tan∠CAB=,求线段PC的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)连结OD,由AB为⊙O的直径,根据圆周角定理得AB为⊙O的直径得∠ACB=90°,再由ACD=∠BCD=45°,则∠DAB=∠ABD=45°,所以△DAB为等腰直角三角形,所以DO⊥AB,根据切线的性质得OD⊥PD,于是可得到DP∥AB;
(2)利用角的关系得出∠FBD=∠EDA,进而得出△FBD≌△EDA,即可得出DE=BF;
(3)在Rt△ACB中,利用AC=6,tan∠CAB=,可得BC=8,再利用勾股定理得出AB=10,由△DAB为等腰直角三角形,可得AD=5,由AE⊥CD,得出△ACE为等腰直角三角形,得出AE=CE=3,在Rt△AED中,可得DE=4,得出CD=7,由角的关系得出△PDA∽△PCD,利用比例式可得出PA=PD,PC=PD,由PC=PA+AC,可求得PD=,即可得出PC的值.
证明:(1)连结,如图,
∵为的直径,∴,
∵的平分线交于点,
∴,
∴,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∵为的切线,∴,∴.
(2)∵于点,于点,
∴,∴,
∴为等腰直角三角形,∴,
∵,∴,
在和中,,
∴,
∴.
(3)在,∵,,
∴,∴,
∵为等腰直角三角形,∴,
∵,
∴为等腰直角三角形,∴,
在中,,
∴,
∵,∴,∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,,
又∵,
∴,解得,
∴.
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【题目】某校为了解九年级学生新冠疫情防控期间每天居家体育活动的时间(单位:),在网上随机调查了该校九年级部分学生.根据调查结果,绘制出如下的统计图1和图2.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的初中学生人数为________,图①中的值为________;
(2)这组数据的平均数是________,众数是________,中位数是________;
(3)根据统计的这组每天居家体育活动时间的样本数据,估计该校500名九年级学生居家期间每天体育活动时间大于的学生人数.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,D为的中点,过D作DF⊥AB于点E,交⊙O于点F,交弦BC于点G,连接CD,BF.
(1)求证:△BFG≌△DCG;
(2)若AC=10,BE=8,求BF的长;
(3)在(2)的条件下,P为⊙O上一点,连接BP,CP,弦CP交直径AB于点H,若△BPH与△CPB相似,求CP的长.
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【题目】已知如图1,四边形是正方形,分别在边、上,且,我们把这种模型称为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法.
(1)在图l中,连接,为了证明结论“”,小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题,请按小亮的思路写出证明过程;
(2)如图2,当绕点旋转到图2位置时,试探究与、之间有怎样的数量关系?
(3)如图3,如果四边形中,,,,且,,,求的长.
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【题目】已知中点分别在边、边上,连接点、点在直线同侧,连接且.
(1)点与点重合时,
①如图1,时,和的数量关系是 ;位置关系是 ;
②如图2,时,猜想和的关系,并说明理由;
(2)时,
③如图3,时,若求的长度;
④如图4,时,点分别为和的中点,若,直接写出的最小值.
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【题目】某公司销售部有营业员20人,该公司为了调动营业员的积极性,决定实行目标管理,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励,为了确定一个适当的月销售目标,公司有关部门统计了这20人某月的销售量,如下表所示:
某公司20位营业员月销售目标统计表
月销售量/件数 | 1760 | 480 | 220 | 180 | 120 | 90 |
人数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 4 |
请根据以上提供的信息解答下列问题:
(1)求这个月中20位营业员的月销售量的平均数;
(2)为了提高大多数营业员积极性,公司将发放A,B,C三个等级的奖金(金额:),如果你是管理者,从平均数,中位数,众数的角度进行分析,你将如何确定领取A,B,C级奖金各需达到的月销售量.
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【题目】如图,已知∠BAC=30°,把△ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE的位置,使得点D,A,C在同一直线上.
(1)△ABC旋转了多少度?
(2)连接CE,试判断△AEC的形状;
(3)求 ∠AEC的度数.
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【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=4,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A'EF,连接A'C,A'D,则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时,FD的长是_____.
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【题目】某网店专售一款电动牙刷,其成本为20元/支,销售中发现,该商品每天的销售量y(支)与销售单价x(元/支)之间存在如图所示的关系.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)由于湖北省武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎(简称“新冠肺炎”)疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐献给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元,如何确定这款电动牙刷的销售单价?
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