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【题目】已知分别在边、边上,连接、点在直线同侧,连接

1)点与点重合时,

①如图1,时,的数量关系是 ;位置关系是

②如图2时,猜想的关系,并说明理由;

2时,

③如图3时,若的长度;

④如图4时,点分别为的中点,若,直接写出的最小值.

【答案】1)①AE=FCAEFC;②AE=2FCAEFC;理由见解析;(2)③FC = 6;④MN的最小值为

【解析】

1)①利用SAS证出△ABE≌△CDF,从而证出AE=FC,∠A=DCF,然后证出∠ACF=90°即可得出结论;

②根据相似三角形的判定证出△ABE∽△CDF,从而得出∠A=DCF,然后证出∠ACF=90°即可得出结论;

2)③作GDBC于点D,交AC于点G;作GHAB于点H,交AB于点HDMAC,利用SAS证出△EDG≌△FDC,从而得出EG=FC,令DC=aBD=2a,根据三角形的面积公式即可求出a值,从而求出结论;

④连接MDMC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=CM=,从而得出点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分,作CD的垂直平分线MHBCH,然后证出四边形NMHG为平行四边形,从而求出结论.

1)①解:∵

∴∠ABC=EDF=90°,∠A+∠BCA=90°

∴∠ABE+∠EDC=CDF+∠EDC

∴∠ABE=CDF

AB=CBDE=DF

∴△ABE≌△CDF

AE=FC,∠A=DCF

∴∠DCF+∠BCA=90°

∴∠ACF=90°

AEFC

故答案为:AE=FCAEFC

②证明:AE=2FCAEFC

DFDE

∴∠EDF=ABC=90°

∴∠ABE=CDF·

∴△ABE∽△CDF

∴∠A=DCF

∵∠A+ACB=90°

∴∠DCF+ACB=90°

∴∠ACF=90°;即FCAE·

2)③解:作GDBC于点D,交AC于点G;作GHAB于点H,交AB于点HDMAC

∴四边形BDGH为矩形

DB=HG

∵∠ABC=90°,

∴∠A=HGA =ACB=45°

DC=DG

DEDF

∴∠EDG=FDC

∴△EDG≌△FDCSAS

EG=FC

BD=2CD

∴令DC=aBD=2a

AG=

EG=MD=·

解得(舍)

FC = EG=6

④∵AB=10

BC=5

CD=

由③易证∠ECF=90°

RtEDFRtECF中,点MEF的中点,连接MDMC

DM=CM=

∴点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分,作CD的垂直平分线MHBCH

∴当NMMH时,MN的最小,易知MNBCMHABCH==

BC的中点G,连接NG,则CG==

NG为△ABC的中位线

NGAB

MHNG

∴四边形NMHG为平行四边形

∴此时MN=GH=CGCH=

MN的最小值为

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进价(元/个)

售价(元/个)

销量(个/日)

根据市场行情,该销售商对型手写板降价销售,同时对型手写板提高售价,此时发现型手写板每降低元就可多卖个,型手写板每提高元就少卖个,要保持每天销售总量不变,设其中型手写板每天多销售个,每天总获利的利润为

1)求之间的函数关系式并写出的取值范围;

2)要使每天的利润不低于元,直接写出的取值范围;

3)该销售商决定每销售一个型手写板,就捐元给因“新冠疫情”影响的困难家庭,当时,每天的最大利润为元,求的值.

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根据以上信息,解答下列问题:

1)本次接受调查的观众共有_______人;

2)扇形统计图中,扇形的圆心角度数是_______

3)请补全条形统计图;

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2)求证:DE=BF

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1)求B地的自发病率

2)规定某地的危险系数等于该地的自发病率与总受感染率的和.

C地危险系数是A地危险系数的两倍,且D地受感染率比B地高5%,求A地的自发病率;

的条件下,A地派出6支医疗队支援BD两地,每派出1支医疗队,A地自身发病率上升075%,每支医疗队可以让被支援的地区的自发病率下降4%.在保证A地危险系数不上升的前提下,A地各派往BD两地多少支队伍时,B地的自发病率下降最多?

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1)(猜想)

如图①,当∠ABC=90°时,∠EFG=________

2)(探究)

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3)(应用)

如图②,当∠ABC=120°时,若EF=2 AB=2,则CD=________

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