【题目】已知中点分别在边、边上,连接点、点在直线同侧,连接且.
(1)点与点重合时,
①如图1,时,和的数量关系是 ;位置关系是 ;
②如图2,时,猜想和的关系,并说明理由;
(2)时,
③如图3,时,若求的长度;
④如图4,时,点分别为和的中点,若,直接写出的最小值.
【答案】(1)①AE=FC;AE⊥FC;②AE=2FC;AE⊥FC;理由见解析;(2)③FC = 6;④MN的最小值为.
【解析】
(1)①利用SAS证出△ABE≌△CDF,从而证出AE=FC,∠A=∠DCF,然后证出∠ACF=90°即可得出结论;
②根据相似三角形的判定证出△ABE∽△CDF,从而得出∠A=∠DCF,,然后证出∠ACF=90°即可得出结论;
(2)③作GD⊥BC于点D,交AC于点G;作GH⊥AB于点H,交AB于点H;DM⊥AC,利用SAS证出△EDG≌△FDC,从而得出EG=FC,令DC=a,BD=2a,根据三角形的面积公式即可求出a值,从而求出结论;
④连接MD和MC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=CM=,从而得出点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分,作CD的垂直平分线MH交BC于H,然后证出四边形NMHG为平行四边形,从而求出结论.
(1)①解:∵
∴∠ABC=∠EDF=90°,∠A+∠BCA=90°
∴∠ABE+∠EDC=∠CDF+∠EDC
∴∠ABE=∠CDF
∵
∴AB=CB,DE=DF
∴△ABE≌△CDF
∴AE=FC,∠A=∠DCF
∴∠DCF+∠BCA=90°
∴∠ACF=90°
∴AE⊥FC
故答案为:AE=FC;AE⊥FC;
②证明:AE=2FC;AE⊥FC
∵DF⊥DE
∴∠EDF=∠ABC=90°
∴∠ABE=∠CDF·
∵
∴△ABE∽△CDF
∴∠A=∠DCF,
∵∠A+∠ACB=90°
∴∠DCF+∠ACB=90°
∴∠ACF=90°;即FC⊥AE·
(2)③解:作GD⊥BC于点D,交AC于点G;作GH⊥AB于点H,交AB于点H;DM⊥AC.
∴四边形BDGH为矩形
∴DB=HG
∵∠ABC=90°,
∴∠A=∠HGA =∠ACB=45°
∴DC=DG
∵DE⊥DF
∴∠EDG=∠FDC
∴△EDG≌△FDC(SAS)
∴EG=FC
∵BD=2CD
∴令DC=a,BD=2a
∴AG=
∴EG=,MD=·
∵
∴
解得,(舍)
∴FC = EG=6
④∵,AB=10
∴BC=5
∵
∴CD=
由③易证∠ECF=90°
在Rt△EDF和Rt△ECF中,点M为EF的中点,连接MD和MC
∴DM=CM=
∴点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分,作CD的垂直平分线MH交BC于H
∴当NM⊥MH时,MN的最小,易知MN∥BC,MH∥AB,CH==
取BC的中点G,连接NG,则CG==
∴NG为△ABC的中位线
∴NG∥AB
∴MH∥NG
∴四边形NMHG为平行四边形
∴此时MN=GH=CG-CH=
即MN的最小值为.
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【题目】受“新冠”疫情的影响,某销售商在网上销售、两种型号的“手写板”,获利颇丰.已知型,型手写板进价、售价和每日销量如表格所示:
进价(元/个) | 售价(元/个) | 销量(个/日) | |
型 | |||
型 |
根据市场行情,该销售商对型手写板降价销售,同时对型手写板提高售价,此时发现型手写板每降低元就可多卖个,型手写板每提高元就少卖个,要保持每天销售总量不变,设其中型手写板每天多销售个,每天总获利的利润为元
(1)求与之间的函数关系式并写出的取值范围;
(2)要使每天的利润不低于元,直接写出的取值范围;
(3)该销售商决定每销售一个型手写板,就捐元给因“新冠疫情”影响的困难家庭,当时,每天的最大利润为元,求的值.
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【题目】在△ABC中,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交边BC于点D,分别过D作DE∥AC交边AB于点E,DF∥AB交边AC于点F.
(1)如图1,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由;
(2)如图2,若AD=4,点H,G分别在线段AE,AF上,且EH=AG=3,连接EG交AD于点M,连接FH交EG于点N.
(i)求ENEG的值;
(ii)将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′,求证:H,F,M′三点在同一条直线上
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【题目】2020贺岁片《囧妈》提档大年三十网络首播.“乐调查”平台为了全面了解观众对《囧妈》的满意度情况,进行随机抽样调查,分为四个类别:.非常满意;.满意;.基本满意;.不满意,依据调查数据绘制成图1和图2的统计图(不完整).
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的观众共有_______人;
(2)扇形统计图中,扇形的圆心角度数是_______;
(3)请补全条形统计图;
(4)“乐调查”平台调查了春节期间观看《固妈》的观众约5000人,请估计观众对该电影的满意(、、类视为满意)的人数.
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【题目】如图,点是边长为的正方形的对角线上的动点,过点分别作于点于点,连接并延长,交射线于点交射线于点,连接交于点当点在上运动时(不包括两点),以下结论:①;②;③;④的最小值是.其中正确的是_______.(把你认为正确结论的序号都填上)
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【题目】如图,ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠ACB的平分线CD交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线PD,交CA的延长线于点P,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F.
(1)求证:PD//AB;
(2)求证:DE=BF;
(3)若AC=6,tan∠CAB=,求线段PC的长.
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【题目】A,B,C,D四个地区爆发病毒疫情,它们之间的道路连通情况和距离(单位:km)如图所示,经调查发现,某地区受感染率与相邻地区自发病率和距离有关,具体公式为:
A地受B地的感染率.已知A地受B地和D地感染率之相邻地区和为9%,D地的自发病率为24%.
(1)求B地的自发病率;
(2)规定某地的危险系数等于该地的自发病率与总受感染率的和.
①若C地危险系数是A地危险系数的两倍,且D地受感染率比B地高5%,求A地的自发病率;
②在①的条件下,A地派出6支医疗队支援B,D两地,每派出1支医疗队,A地自身发病率上升0.75%,每支医疗队可以让被支援的地区的自发病率下降4%.在保证A地危险系数不上升的前提下,A地各派往B,D两地多少支队伍时,B地的自发病率下降最多?
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【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=BC.CD∥AB,点D在点C的右侧,点A,E关于直线BD对称,CE交BD于点F,AE交DB延长线于点G.
(1)(猜想)
如图①,当∠ABC=90°时,∠EFG=________;
(2)(探究)
在(1)的前提下,若AB=4,CD=1,求EF的长;
(3)(应用)
如图②,当∠ABC=120°时,若EF=2 ,AB=2,则CD=________.
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【题目】已知点P为抛物线yx2上一动点,以P为顶点,且经过原点O的抛物线,记作“yp”,设其与x轴另一交点为A,点P的横坐标为m.
(1)①当△OPA为直角三角形时,m= ;
②当△OPA为等边三角形时,求此时“yp”的解析式;
(2)若P点的横坐标分别为1,2,3,…n(n为正整数)时,抛物线“yp”分别记作“”、“”…,“”,设其与x轴另外一交点分别为A1,A2,A3,…An,过P1,P2,P3,…Pn作x轴的垂线,垂足分别为H1,H2,H3,…Hn.
1)① Pn的坐标为 ;OAn= ;(用含n的代数式来表示)
②当PnHn﹣OAn=16时,求n的值.
2)是否存在这样的An,使得∠OP4An=90°,若存在,求n的值;若不存在,请说明理由.
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