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【题目】如图,在ABC中,AB=AC,DAC是ABC的一个外角.

实验与操作:

根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法)

(1)作DAC的平分线AM;

(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE,CF.

猜想并判断四边形AECF的形状并加以证明.

【答案】(1)作图见试题解析;(2)作图见试题解析,四边形AECF的形状为菱形.

【解析】

试题分析:先作以个角的交平分线,再作线段的垂直平分线得到几何图形,由AB=AC得ABC=ACB,由AM平分DAC得DAM=CAM,则利用三角形外角性质可得CAM=ACB,再根据线段垂直平分线的性质得OA=OC,AOF=COE,于是可证明△AOF≌△COE,所以OF=OE,然后根据菱形的判定方法易得四边形AECF的形状为菱形.

试题解析:解:如图所示,四边形AECF的形状为菱形.理由如下:

AB=AC,∴∠ABC=ACB,AM平分DAC,∴∠DAM=CAM,而DAC=ABC+ACB,∴∠CAM=ACB,EF垂直平分AC,OA=OC,AOF=COE,在△AOF和△COE中∵∠FAO=ECO,OA=OC,AOF=COE∴△AOF≌△COE,OF=OE,即AC和EF互相垂直平分,四边形AECF的形状为菱形.

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