【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x与二次函数的图象相交于O、A两点,点A(3,3),点M为抛物线的顶点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)长度为的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动,分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1,求四边形PQQ1P1面积的最大值;
(3)直线OA上是否存在点E,使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)E(
,
).
【解析】
试题分析:(1)把点A(3,3)代入中,得:3=9+3b,解得:b=﹣2,∴二次函数的表达式为
.
(2)设点P在点Q的左下方,过点P作PE⊥QQ1于点E,如图1所示.
∵PE⊥QQ1,QQ1⊥x轴,∴PE∥x轴,∵直线OA的解析式为y=kx,∴∠QPE=45°,∴PE=PQ=2.
设点P(m,m)(0<m<1),则Q(m+2,m+2),P1(m,),Q1(m+2,
),∴PP1=
,QQ1=
,∴
=
(PP1+QQ1)PE=
=
,∴当m=
时,
取最大值,最大值为
.
(3)存在.
如图2中,点E的对称点为F,EF与AM交于点G,连接OM、MF、AF、OF.
∵S△AOF=S△AOM,∴MF∥OA,∵EG=GF,,∴AG=GM,∵M(1,﹣1),A(3,3),∴点G(2,1),∵直线AM解析式为y=2x﹣3,∴线段AM的中垂线EF的解析式为
,由
,解得
,∴点E坐标为(
,
).
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【题目】如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的角平分线分别交AB,BD于M,N两点.若AM=2,则线段ON的长为( )
A.
B.
C.1
D.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.
实验与操作:
根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法)
(1)作∠DAC的平分线AM;
(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE,CF.
猜想并判断四边形AECF的形状并加以证明.
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【题目】为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况,随机抽取了x名学生进行调查统计(要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目),并将调查结果绘制成如下统计图表:
学生最喜爱的节目人数统计表
节目 | 人数(名) | 百分比 |
最强大脑 | 5 | 10% |
朗读者 | 15 | b% |
中国诗词大会 | a | 40% |
出彩中国人 | 10 | 20% |
根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)x= , a= , b=;
(2)补全上面的条形统计图;
(3)若该校共有学生1000名,根据抽样调查结果,估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名.
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【题目】如图,OA=2,以点A为圆心,1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C,过点A画OA的垂线,垂线与⊙A的一个交点为B,连接BC
(1)线段BC的长等于 ;
(2)请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题:
①以点 为圆心,以线段 的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于;
②连OD,在OD上画出点P,使OP得长等于,请写出画法,并说明理由.
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【题目】在抛物线y=x2﹣4x+m的图象上有三个点(﹣3,y1),(1,y2),(4,y3),则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y2<y3<y1B.y1<y2=y3C.y1<y2<y3D.y3<y2<y1
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