Question

【题目】如图将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上, 直线MN: y=x－8沿x轴的负方向以每秒2个单位的长度平移,设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m,平移时间为t, m与t的函数图象如图2所示.

(1)若AB=6

①点A的坐标为_____________,矩形ABCD的面积为____________.

②求a, b的值;

(2)若AB=4，在平移过程中,求直线MN扫过矩形ABCD的面积 S与 t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①（2，0），48；②a=6，b=10；（2）.

【解析】

（1）①易求得M点坐标为（8，0），根据图2可得开始平移3秒后点M到达点A，所以AM=6，OA=2，平移7秒后点M到达点D，所以AD=，由此可求得点A的坐标和矩形ABCD的面积；②针对图2考虑两个极端位置，直线MN过点B和点C，然后画出图形，结合直线平移的速度，从而求出a和b的值；

（2）可根据题目中的图1和图2将平移分为四个阶段，然后逐个讨论这四个阶段内直线MN与x轴交点的坐标，得出各阶段扫过部分的图形，然后分别求出扫过部分的面积.

解：（1）①对直线y=x﹣8，令y=0，得x﹣8=0，解得：x=8，∴点M的坐标为（8，0）．

根据图2可得开始平移3秒后点M到达点A，所以AM=6，OA=2，平移7秒后点M到达点D，所以AD=，点A的坐标为（2，0），矩形ABCD的面积为6×8=48；

②如下图1所示，当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E．

∵点A的坐标为（2，0），AB=6，∴点B的坐标为（2，6），

设直线ME的解析式为y=x+c，

将点B的坐标代入得：2+c=6．∴c=4．

∴直线ME的解析式为y=x+4．

将y=0代入得：x+4=0，解得x=﹣4，

∴点E的坐标为（﹣4，0）．

∴BE=．

∴a=6；

如下图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F．

∵点D的坐标为（﹣6，0），∴点C的坐标为（﹣6，6）．

设MF的解析式为y=x+d，将（﹣6，6）代入得：﹣6+d=6，解得d=12．

∴直线MF的解析式为y=x+12．

将y=0代入得x+12=0，解得x=﹣12．

∴点F的坐标为（﹣12，0）．

∴b=7+6÷2=10．

（2）结合题意中的图1与图2，可将直线MN的平移按照时间分为四个阶段：①从初始位置平移到与A点相接；②直线MN与x轴的交点在AE之内；③直线MN与x轴的交点在ED之内；④直线MN与x轴的交点在DG之内（包含点G），如图所示.

当0≤t≤3时，直线MN处于阶段①，此时直线MN与矩形ABCD没有交点，所以S=0；

当3<t<5时，直线MN处于阶段②，此时直线MN扫过矩形ABCD的部分为一个小等腰直角三角形，其中三角形的腰长为2t－6，所以面积为；

当5≤t＜7时，直线MN处于阶段③，此时直线MN扫过矩形ABCD的部分为一个直角梯形，上底为2t－10，下底为2t－6，高为4，所以面积为；

当7≤t≤9时，直线MN处于阶段④，此时直线MN扫过矩形ABCD的部分为矩形ABCD减去左上角的小等腰直角三角形，其中AD=BC=8，三角形腰长为8－（2t－10）=18－2t，所以面积为.

综上所述，S与t的函数关系式为.