【题目】已知四边形ABCD是矩形
(1) 如图1,对角线AC、BD相交于点O,且DE∥AC,CE∥BD,求证:四边形OCED是菱形
(2) 如图2,对角线AC、BD相交于点O,∠BAD的平分线交BC于点F,且∠CAF=15°,求AF∶FC的值
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先证明四边形OCED是平行四边形,再证明四边形OCED的一组邻边相等即可;
(2)由题意可求得∠BAC=60°,从而∠ACB=30°,设AB=a,易求得BF=a,,AC=2a,,所以,再代入计算即可.
解:(1)证明:如图1,∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,DO=BD,CO=AC.
∴ DO=CO.
∴平行四边形OCED是菱形.
(2)如图2,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=90°,
∵AF是∠BAD的平分线,∴∠BAF=∠BAD=45°,
∴∠AFB=45°,∴BA=BF.
∵∠CAF=15°,∴∠BAC=60°,∴∠ACB=30°.
设AB=a,
则在Rt△ABF中,BF=a,,
在Rt△ABC中,AC=2a,,
∴,
∴AF∶FC=.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足CF∶DF=1∶3,连接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=3,AF=4.
(1)求证:△ADF∽△AED;
(2)求FG的长;
(3)求tan∠E的值.
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【题目】“五一”期间,部分同学随家长一同到某公园游玩,下面是购买门票时,甲同学与其爸爸的对话(如图),试根据图中的信息,解决下列问题:
(1)本次共去了几个成人,几个学生?
(2)甲同学所说的另一种购票方式,是否可以省钱?试说明理由.
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【题目】某校为了更好的开展“学校特色体育教育”,从全校八年级的各班分别随机抽取了5名男生和5名女生,组成了一个容量为60的样本,进行各项体育项目的测试,了解他们的身体素质情况.下表是整理样本数据,得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图:某校60名学生体育测试成绩频数分布表
成绩 | 划记 | 频数 | 百分比 |
优秀 | 正正正 | a | 30% |
良好 | 正正正正正正 | 30 | b |
合格 | 正 | 9 | 15% |
不合格 | 3 | 5% | |
合计 | 60 | 60 | 100% |
(说明:40﹣﹣﹣55分为不合格,55﹣﹣﹣70分为合格,70﹣﹣﹣85分为良好,85﹣﹣﹣100分为优秀)请根据以上信息,解答下列问题:
(1)表中的a=_____,b=_____;
(2)请根据频数分布表,画出相应的频数分布直方图;
(3)如果该校八年级共有150名学生,根据以上数据,估计该校八年级学生身体素质良好及以上的人数为_____.
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【题目】弹簧挂上物体后会伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如表所示.
所挂物体的质量 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
弹簧的长度 | 12 | 12.5 | 13 | 13.5 | 14 | 14.5 | 15 | 15.5 |
(1)上表反映了哪些变量之间的关系?哪个是自变量,哪个是因变量?
(2)当物体的质量为2kg时,弹簧的长度是多少?
(3)当物体的质量逐渐增加时,弹簧的长度怎样变化?
(4)如果物体的质量为xkg,弹簧的长度为ycm,根据上表写出y与x的关系式;
(5)当物体的质量为2.5kg时,根据(4)的关系式,求弹簧的长度.
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【题目】如图将矩形ABCD置于平面直角坐标系中,其中AD边在x轴上, 直线MN: y=x-8沿x轴的负方向以每秒2个单位的长度平移,设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m,平移时间为t, m与t的函数图象如图2所示.
(1)若AB=6
①点A的坐标为_____________,矩形ABCD的面积为____________.
②求a, b的值;
(2)若AB=4,在平移过程中,求直线MN扫过矩形ABCD的面积 S与 t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
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【题目】学校与图书馆在冋一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达日的地.两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t= 分钟时甲乙两人相遇,乙的速度为 米/分钟;
(2)求点A的坐标.
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【题目】为了发展校园足球运动,某城区五校决定联合购买一批足球服和足球.经过市场调查发现:甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球服和足球,已知每套足球服比每个足球多60元,两套足球服与三个足球的费用相等.经洽谈,甲商场的优惠方案是:每购买20套足球服,送一个足球;乙商场的优惠方案是:若购买足球服超过80套,则购买的足球打八折,若购买足球服不超过80套,不打折.
(1)求每套足球服和每个足球的价格各是多少元;
(2)若城区五校联合购买120套足球服和()个足球,假如你是本次购买任务的负责人,你会选择到甲、乙两家中的哪一家商场购买更便宜?请说明理由.
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【题目】如图,在边长为6的正方形ABCD内部有两个大小相同的长方形AEFG、HMCN,HM与EF相交于点P,HN与GF相交于点Q,AG=CM=x,AE=CN=y.
(1)用含有x、y的代数式表示长方形AEFG与长方形HMCN重叠部分的面积S四边形HPFQ,并求出x应满足的条件;
(2)当AG=AE,EF=2PE时,
①AG的长为_______;
②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合,请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点,并分别说明如何旋转的.
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