Question

【题目】已知四边形ABCD是矩形

(1) 如图1，对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，求证：四边形OCED是菱形

(2) 如图2，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的平分线交BC于点F，且∠CAF＝15°，求AF∶FC的值

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先证明四边形OCED是平行四边形，再证明四边形OCED的一组邻边相等即可；

（2）由题意可求得∠BAC=60°，从而∠ACB=30°，设AB=a，易求得BF=a，，AC=2a，，所以，再代入计算即可.

解：（1）证明：如图1，∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，DO=BD，CO=AC.

∴ DO=CO.

∴平行四边形OCED是菱形.

（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，

∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠BAD=45°，

∴∠AFB=45°，∴BA=BF.

∵∠CAF＝15°，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=30°.

设AB=a，

则在Rt△ABF中，BF=a，，

在Rt△ABC中，AC=2a，，

∴，

∴AF∶FC=.