Question

【题目】如图，在边长为6的正方形ABCD内部有两个大小相同的长方形AEFG、HMCN，HM与EF相交于点P，HN与GF相交于点Q，AG=CM=x，AE=CN=y．

（1）用含有x、y的代数式表示长方形AEFG与长方形HMCN重叠部分的面积S四边形HPFQ，并求出x应满足的条件；

（2）当AG=AE，EF=2PE时，

①AG的长为_______；

②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并分别说明如何旋转的．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①4；②见解析．

【解析】

根据矩形和正方形的性质可x、y表示出PH、PF的长，利用长方形面积公式即可得

（1）∵AG=CM=x，AE=CN=y，四边形ABCD是正方形，

∴，，

∴，

∴重叠部分长方形的面积为：，

∵长方形AEFG与长方形HMCN有重叠部分，正方形ABCD边长为6，

∴3<AG<6，即．

（2）①∵AG=AE=EF，EF=2PE，

∴PE=AG，

∵DG=PE，AD=6，

∴AD=AG+DG=AG+AG=6，

解得：AG=4，

故答案为：4

②如图，连接HF、PQ，设相交的点为点O，

∵AG=AE，EF=2PE，

∴四边形AEFG、都是正方形，点既是的中点也是的中点，点既是的中点也是的中点，

∴该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点、点、点，

四边形绕着点逆时针方向（或顺时针方向）旋转度可与四边形重合；

四边形绕着点顺时针方向旋转度（或逆时针方向旋转度）可与四边形重合；

四边形绕着点逆时针方向旋转度（或顺时针方向旋转度）可与四边形重合．