Question

已知二次函数y=x²-（2m+2）x+（m²+4m-3）中，m为不小于0的整数，它的图象与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点C是抛物线与y轴的交点，已知AD=AC（D在线段AB上），有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q从点C出发，以某一速度沿线段CB移动，经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，求四边形ACQD的面积．

Answer 1

解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=[-（2m+2）]²-4（m²+4m-3）=-8m+16＞0，
∴m＜2．
∵m为不小于0的整数，
∴m取0、1．
当m=1时，y=x²-4x+2，图象与x轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去；
当m=0时，y=x²-2x-3，符合题意．
∴二次函数的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD
∵CD垂直平分PQ，
∴DP=DQ，
∴∠ADC=∠CDQ．
∴∠ACD=∠CDQ，
∴DQ∥AC
∴△BDQ∽△BAC，
∴=，
∵AC=，BD=4-，AB=4．
∴DQ=-，
∴PD=-．
∴AP=AD-PD=，
∴t=÷1=，

（3）∵△BDQ∽△BAC，
∵AB=4，AD=AC==，
∴BD=4-，
∴=（）²=（），
∵S_△BAC=6，
∴S_△BOQ=，
∴S_{四边形ACQD}=6-=．
分析：（1）根据二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△＞0，求出m的取值范围，结合m为不小于0的整数，
求出m的整数解；再将整数解代入二次函数解析式，找到符合题意的二次函数；
（2）根据题意画出图象，证出DQ∥AC，从而得到△BDQ∽△BAC，然后利用相似三角形的性质求出t的值；
（3）由于△BDQ∽△BAC，求出S_△BAC=6，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出S_△DQB，二者相减，即可得到S_{四边形ACQD}．
点评：本题考查了二次函数图象与x轴的交点与判别式的关系，相似三角形的性质，坐标与图形的面积等知识，综合性很强，需要从各角度进行分析解答．