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【题目】如图,A,P,B,C是O上的四个点,APC=CPB=60°

(1)判断ABC的形状:

(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论.

【答案】(1)ABC是等边三角形;(2)CP=BP+AP

【解析】

试题分析:(1)利用圆周角定理可得BAC=CPBABC=APC,而APC=CPB=60°,所以BAC=ABC=60°,从而可判断ABC的形状;

(2)在PC上截取PD=AP,则APD是等边三角形,然后证明APB≌△ADC,证明BP=CD,即可证得.

证明:(1)ABC是等边三角形.

证明如下:在O中,

∵∠BACCPB对的圆周角,ABCAPC所对的圆周角,

∴∠BAC=CPBABC=APC

∵∠APC=CPB=60°

∴∠ABC=BAC=60°

∴△ABC为等边三角形;

故答案为:ABC是等边三角形;

(2)在PC上截取PD=AP,如图1,

∵∠APC=60°

∴△APD是等边三角形,

AD=AP=PDADP=60°,即ADC=120°

∵∠APB=APC+BPC=120°

∴∠ADC=APB

APBADC中,

∴△APB≌△ADC(AAS),

BP=CD

PD=AP

CP=BP+AP

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