Question

如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；

（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；

（2）根据图形的割补法，可得面积的和差，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据余角的性质，可得∠AMN=∠NKM，根据相似三角形的判定与性质，可得=，根据解方程组，可得H点坐标．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）代入解析式，得

，

解得．

∴抛物线的解析式是y=2x²+5x+2；

（2）由题意可求得AC的解析式为y=x+2，

如图1，

设D点的坐标为（t，2t²+5t+2），过D作DE⊥x轴交AC于E点，

∴E点的坐标为（t，t+2），

DE=t+2﹣（2t²+5t+2）=﹣2t²﹣4t，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，

S_△DAC=S_△CDE+S_△ADE=DE•h+DE（2﹣h）=DE•2=DE=﹣2t²﹣4t=﹣2（t+1）²+2

∵﹣2＜t＜0，

∴当t=﹣1时，△DCA的面积最大，此时D点的坐标为（﹣1，﹣1）；

（3）存在点H满足∠AMH=90°，

由（1）知M点的坐标为（﹣，﹣）

如图2：作MH⊥AM交x轴于点K（x，0），作MN⊥x轴于点N，

∵∠AMN+∠KMA=90°，∠NKM+∠KMN=90°，

∴∠AMN=∠NKM．

∵∠ANM=∠MNK，

∴△AMN∽△MKN，

∴=，

∴MN²=AN•NK，

∴（）²=（2﹣）（x+），

解得x=

∴K点坐标为（，0）

直线MK的解析式为y=x﹣，

∴，

把①代入②，化简得48x²+104x+55=0．

△=104²﹣4×48×55=64×4=256＞0，

∴x₁=﹣，x₂=﹣，将x₂=﹣代入y=x﹣，

解得y=﹣

∴直线MN与抛物线有两个交点M、H，

∴抛物线上存在点H，满足∠AMH=90°，

此时点H的坐标为（﹣，﹣）．

【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用图形割补法求面积是解题关键，（3）利用相似三角形的判定与性质得出=是解题关键，解方程组是此题的难点．