Question

2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，D是△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=2$\sqrt{3}$，CD=2，求S_△ABD．

Answer 1

分析 如图取AB中点M，连接CM、DM，在线段DM上截取DE=DB，作BF⊥DM于F，先证明DM=BD+DC，再求出DM、BF，求出△BDM的面积，根据S_△ABD=2S_△BDM即可解决问题．

解答 解：如图取AB中点M，连接CM、DM，在线段DM上截取DE=DB，作BF⊥DM于F．
在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BM=AM，
∴∠ABC=60°，CM=BM=AM，
∴△BCM是等边三角形，
∴∠BMC=∠BCM=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠BDC+∠BMC=180°，
∴B、D、C、M四点共圆，
∴∠BDM=∠BCM=60°，∵DB=DE，
∴△BDE是等边三角形，
∴DB=DE，
∵∠DBE=∠CBM=60°，
∴∠DBC=∠EBM，
在△DBC和△EBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=BE}\\{∠DBC=∠EBM}\\{CB=BM}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△EBM，
∴CD=EM，
∴DM=DE+EM=DB+DC=2+2$\sqrt{3}$，
在RT△DBF中，∠BDF=60°，BD=2$\sqrt{3}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{3}$DF=3，
∴S_△BDM=$\frac{1}{2}$•DM•BF=$\frac{1}{2}$×（2+2$\sqrt{3}$）×3，
∵BM=AM，
∴S_△ABD=2S_△BDM=6+6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的判定和性质、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，本题有一定难度，用到四点共圆，记住图中DM=BD+DC这个基本结论，属于中考常考题型．