Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$，AB=13．
（1）求AE的长；
（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）根据AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$，AB=13，可以求得BE的长，从而可以求得AE的长；
（2）根据在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，可知AE、BD为△ABC的中线，从而可以利用重心定理得到EF的长，由AE⊥BC，从而可以得到tan∠DBC的值．

解答 解：（1）∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°．
∵$cos∠ABC=\frac{5}{13}$，AB=13，
∴BE=5．
∵在Rt△BEA中，BE²+AE²=AB²，
∴$AE=\sqrt{A{B^2}-B{E^2}}=\sqrt{{{13}^2}-{5^2}}=12$．
（2）∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE是BC边上的中线．
又∵BD是AC边上的中线，
∴F是△ABC的重心．
∵AE=12，
∴$EF=\frac{1}{3}AE=4$．
∵Rt△BEF中，BE=5，EF=4，
∴tan∠DBC=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是明确直角三角形中边角的关系，知道重心定理．