Question

13．已知抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A、B在原点O两侧），与y轴相交于点C，点C位于y轴正半轴，且点A，C在一次函数y₂=$\frac{4}{3}$x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8．
（1）求抛物线与直线所对应的函数关系式；
（2）当y₁随x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，可知点C的坐标，进而求出一次函数解析式；根据一次函数解析式，求出点A的坐标，根据AB的长度，求得点B的坐标；利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；
（2）根据抛物线解析式，求出对称轴，根据开口方向，即可判断x的取值范围．

解答 解：（1）∵OC=8，点C位于正半轴，
∴点C（0，8），
∵点C在${y}_{2}=\frac{4}{3}x+n$上，
∴可得：$\frac{4}{3}x+8=0$，解得：x=-6，
∴点A（-6，0），
∵AB=16，
∴点B（10，0），
∵点A、B、C、在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{100a+10b+c=0}\\{36a-6b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{15}}\\{b=\frac{4}{15}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：${y}_{1}=-\frac{2}{15}{x}^{2}+\frac{4}{15}x+8$，
一次函数解析式为：${y}_{2}=\frac{4}{3}x+8$；
（2）∵抛物线解析式为：${y}_{1}=-\frac{2}{15}{x}^{2}+\frac{4}{15}x+8$，
∴对称轴为：直线x=$-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{4}{15}}{2×（-\frac{2}{15}）}=1$，
∵a=$-\frac{2}{15}$，
∴图象的开口向下，
∴当x＞1时，y₁ 随x的增大而减小．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法等知识，根据题意表示出各点的坐标，再用待定系数法求解析式是解决此类问题的关键．