Question

15．阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax⁴+bx²+c=0（a≠0），一般通过换元法解之，具体解法是设 x²=y，则原四次方程化为一元二次方程：ay²+by+c=0，解出y之后代入x²=y，从而求出x的值．例如解：4x⁴-8y²+3=0
解：设x²=y，则原方程可化为：4y²-8y+3=0
∵a=4，b=-8，c=3
∴b²-4ac=-（-8）²-4×4×3=16＞0
∴y=$\frac{-（-8）±\sqrt{16}}{2×4}$=$\frac{8±4}{8}$
∴y₁=$\frac{1}{2}$，
∴y₂=$\frac{3}{2}$
∴当y₁=$\frac{1}{2}$时，x²=$\frac{1}{2}$
∴x₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；当y₁=$\frac{3}{2}$时，x²=$\frac{3}{2}$
∴x₃=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₄=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$
小试牛刀：请你解双二次方程：x⁴-2x²-8=0
归纳提高：思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是②③（选出所有的正确答案）
①当b²-4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b²-4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③当b²-4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；④原方程无实数根时，一定有b²-4ac＜0．

Answer 1

分析 先设y=x²，则原方程变形为y²-2y-8=0，运用因式分解法解得y₁=-2，y₂=4，再把y=-2和4分别代入y=x²得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④．

解答 解：x⁴-2x²-8=0
设y=x²，则原方程变为：y²-2y-8=0．
分解因式，得（y+2）（y-4）=0，
解得，y₁=-2，y₂=4，
当y=-2时，x²=-2，x²+2=0，△=0-4×2＜0，此方程无实数解；
当y=4时，x²=4，解得x₁=-2，x₂=2，
所以原方程的解为x₁=-2，x₂=2．
根据阅读新知和小试牛刀即可判断②③；
如：x⁴+4x²+3=0，虽然△=b²-4ac=16-12=4＞0，但原方程可化为（x²+1）（x²+3）=0，明显，此方程无解；
所以，①④错误，
故答案为②③．

点评 本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解．