Question

阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x₁，0），B（x₂，0）的距离记作AB=|x₁-x₂|是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离，如图，过A，B分别向x轴、y轴作垂线AM₁、AN₁和
BM₂、BN₂，垂足分别是M₁、N₁、M₂、N₂，直线AN₁交BM₂于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x₁-x₂|，BQ=|y₁-y₂|，
∴AB²=AQ²+BQ²=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|²=（x₁-x₂|²+（y₁-y₂）²，
由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）间的距离公式为：AB=

 

．
（1）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1，-3），B（-2，1）之间的距离为

 

；
（2）利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点A（0，3），B（4，1），P为x轴上任一点，则PA+PB的最小值和此时P点的坐标；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,两点间的距离

专题：

分析：（1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；
（2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出PA+PB的最小值；
（3）根据原式表示的几何意义是点（x，y）到点（-2，-4）和（3，1）的距离之和，当点（x，y）在以（-2，-4）和（3，1）为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可．

解答：解：（1））∵平面直角坐标系内任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）间的距离公式为：
∴点A（1，-3），B（-2，1）之间的距离为：AB=5；
故答案为：5；

（2）如图，作点B关于x轴对称的点B，连接AB，直线AB，于x轴的交点即为所求的点P．
∵B（4，1）∴B，（4，-1），
∵A（0，3）∴设直线AB，的一次函数表达式为y=kx+3，
把B，（4，-1）代入-1=4k+3　解得　k=-1，
当y=0时，解得x=3，即P（3，0），
∴PA+PB=PA+PB，=AB，=

(0-4)2+(3+1)2

=4

2

，
即为PA+PB的最小值为4

2

．
故答案为：4

2

；

（3）原式=

(x-0)2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

，
故原式表示点（x，y）到（0，2）和（3，1）的距离之和．由两点之间线段最短，点（x，y）在以（0，2）和（3，1）为端点的线段上时，原式值最小．利用公式，原式=

10

．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．