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【题目】已知:如图①,在平面直角坐标系xOy中,A(0,5),C,0),AOCD为矩形,AE垂直于对角线ODE,点F是点E关于y轴的对称点,连AFOF

(1)求AFOF的长;

(2)如图②,将△OAF绕点O顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的△OAF为△OAF′,在旋转过程中,设AF′所在的直线与线段AD交于点P,与线段OD交于点Q,是否存在这样的PQ两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时点P坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)AF=4,OF=3;(2)存在,点P的坐标为:(,5),(,5)

【解析】试题分析:(1)运用勾股定理和面积相等法结合轴对称性质即可求解;

(2)画出图形,根据PQ=PDPD=DQ结合平行线的性质,对顶角相等和角的等量代换,运用勾股定理即可求解.

解:(1)如图①

OA=5,AD=OC=

由勾股定理可求.OD=

AE×OD=AO×AD

AE=4,

OE==3,

∵点F是点E关于y轴的对称点,

AF=AE=4,OF=OE=3;

(2)如图②

PD=PQ

易得∠1=∠2=∠3,

∵∠1=∠A′,

∴∠3=∠A′,

OQ=OA′=5,

DQ=

过点PPHDQ

∵cos∠1=

DP=

AP=

∴此时点P的坐标为(,5);

如图③

∵点P在线段AD上,

∴∠1>∠PDQ

QPQD不会相等;

如图③,

DP=DQ

易得,∠1=∠2=∠3=∠4,

∵∠3=∠5+∠A′,∠A′=∠COD

∴∠4=∠AOQ

AQ=AO=5,

FQ=5﹣4=1,

OQ=

DP=DQ=

AP=ADDP=

∴此时点P的坐标为:(,5).

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