【题目】已知:如图①,在平面直角坐标系xOy中,A(0,5),C(,0),AOCD为矩形,AE垂直于对角线OD于E,点F是点E关于y轴的对称点,连AF、OF.
(1)求AF和OF的长;
(2)如图②,将△OAF绕点O顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的△OAF为△OA′F′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与线段AD交于点P,与线段OD交于点Q,是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时点P坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)AF=4,OF=3;(2)存在,点P的坐标为:(,5),(﹣,5)
【解析】试题分析:(1)运用勾股定理和面积相等法结合轴对称性质即可求解;
(2)画出图形,根据PQ=PD,PD=DQ结合平行线的性质,对顶角相等和角的等量代换,运用勾股定理即可求解.
解:(1)如图①
∵OA=5,AD=OC=,
由勾股定理可求.OD=,
∵AE×OD=AO×AD,
∴AE=4,
∴OE==3,
∵点F是点E关于y轴的对称点,
∴AF=AE=4,OF=OE=3;
(2)如图②
若PD=PQ,
易得∠1=∠2=∠3,
∵∠1=∠A′,
∴∠3=∠A′,
∴OQ=OA′=5,
∴DQ=,
过点P作PH⊥DQ,
∴,
∵cos∠1=,
∴DP=,
∴AP=,
∴此时点P的坐标为(,5);
如图③
∵点P在线段AD上,
∴∠1>∠PDQ,
∴QP,QD不会相等;
如图③,
若DP=DQ,
易得,∠1=∠2=∠3=∠4,
∵∠3=∠5+∠A′,∠A′=∠COD,
∴∠4=∠A′OQ,
∴A′Q=A′O=5,
∴F′Q=5﹣4=1,
∴OQ=,
∴DP=DQ=﹣,
∴AP=AD﹣DP=﹣,
∴此时点P的坐标为:(﹣,5).
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【题目】下列说法中,正确个数有( )
①对顶角相等;
②两直线平行,同旁内角相等;
③对角线互相垂直的四边形为菱形;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻,小明竖起1米高的直杆MN,量得其影长MF为0.5米,量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米,落在墙上的影子CD的高为2米.你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗?
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【题目】如图,若∠AOB=∠ACB=90°,OC平分∠AOB.
(1)你能将四边形AOBC通过剪裁拼成一个正方形吗?画出裁剪方法并有必要的说明。
(2)若OC=2,你能求出四边形AOBC的面积吗?
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【题目】甲、乙两地相距135千米,大小两辆汽车从甲地开往乙地,大汽车比小汽车早出发4小时,小汽车比大汽车早到30分钟,小汽车和大汽车的速度之比为5∶2,求两车的速度.
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【题目】在矩形ABCD中,AB=1,AD=,AF平分∠DAB,过C点作CEBD于E,延长AF、EC交于点H,下列结论中:①AF=FH;②B0=BF;③CA=CH;④BE=3ED;正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】初三(1)班要从甲、乙、丙、丁这名同学中随机选取名同学参加学校毕业生代表座谈会.求下列事件的概率:
()已确定甲参加,另外人恰好选中乙;
()随机选取名同学,恰好选中甲和乙.
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