Question

【题目】(10分)如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足 条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)垂直，相等；(2)45°

【解析】试题分析：(1)①证明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，则∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD与CF相等且垂直；②①的结论仍成立，同理证明△DAB≌△FAC，可得结论：垂直且相等；

(2)、当∠ACB满足45°时，CF⊥BC；如图4，作辅助线，证明△QAD≌△CAF，即可得出结论．

试题解析：(1)、①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，

理由是： 如图2，∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∴∠DAC+∠CAF=90°， ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，∴∠CAF=∠BAD， ∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°， ∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即∠BCF=90°，∴BC⊥CF，即BD⊥CF；

②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：

如图3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD， ∠ACF=∠ABD，

∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=∠ABC=45° ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即CF⊥BD；

(2)、当∠BCA=45°时，CF⊥BD，理由是： 如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q， ∵∠BCA=45°， ∴∠AQC=45°， ∴∠AQC=∠BCA， ∴AC=AQ，

∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°， ∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC， ∴∠QAD=∠CAF，

∴△QAD≌△CAF， ∴∠ACF=∠AQD=45°， ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， 即CF⊥BD．