Question

（1）如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=4，BC=7，则梯形ABCD的周长是

 

．
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连接DM．在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形共有

 

个．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,等腰三角形的判定

专题：

分析：（1）过点A作BC的垂线AE，从而可求得BE的长，根据三角函数可求得AB的长，从而就可求得梯形的周长了；
（2）由已知条件，得到角相等，根据等角对等边，找出题中两条边相等的三角形，利用题中的已知条件证明即可．

解答：解：（1）过点A作BC的垂线AE，
则BE=

1

2

（BC-AD）=

3

2

，
在直角三角形△ABE中，cosB=

BE

AB

=

1

2

，
因而AB=3，则梯形ABCD的周长是4+7+3+3=17．

（2）等腰三角形有△MBD、△MDE、△EAD共3个．
依据：MD是直角△BED斜边上的中线，则BM=ME=DM，因而△BMD和△MDE是等腰三角形；
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD，
又∵∠CAD=∠EAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴△AED是等腰三角形．
故答案为：17，3．

点评：此题考查等腰梯形的性质及梯形中常见的辅助线的作法、等腰三角形的性质及判定定理、平行线的性质及角平分线的性质，把梯形的问题转化为直角三角形的问题．