Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形（填写图形名称）；

②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD．DA的中点，当对角线AC、BD还要满足 时，四边形MNPQ是正方形．

（2）如图2，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，D为平面内一点．

①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD=BD，则四边形ABCD的面积是 ；

②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①矩形；②AC⊥BD；（2）①3+2 ；②18．

【解析】试题（1）①只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；

②当AC⊥BD时，四边形MNPQ是正方形，首先证明四边形MNPQ是菱形，再证明有一个角是直角即可；

（2）①如图2中，作DE⊥AB于E．根据S四边形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC计算，求出相关线段即可；

②如图3中，设AE与BD相交于点Q，连接CE，只要证明当AC⊥BD且A、C、E共线时，四边形ABED的面积最大即可．

试题解析：（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，

∵矩形的对角线相等，∴矩形一定是等角线四边形，

故答案为：矩形．

②当AC⊥BD时，四边形MNPQ是正方形．

理由：如图1中，∵M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，∴PQ=MN=AC，PN=QM=BD，PQ∥AC，MQ∥BD，

∵AC=BD，∴MN=NP=PQ=QM，∴四边形MNPQ是菱形，

∵∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=90°，∴∠3=90°，

∴四边形NMPQ是正方形．

故答案为：AC⊥BD．

（2）①如图2中，作DE⊥AB于E．

在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC==5，

∵AD=BD，DE⊥AB，∴AE=BD=2，

∵四边形ABCD是等角线四边形，∴BD=AC=AD=5，在Rt△BDE中，DE==，∴S四边形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC

=AEDE+（DE+BC）BE=×2×+（+3）×2=3+2，

故答案为：3+2；

②如图3中，设AE与BD相交于点Q，连接CE，作DH⊥AE于H，BG⊥AE于G．则DH≤DQ，BG≤BQ，∵四边形ABED是等角线四边形，∴AE=BD，

∵S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=AEDH+AEBG=AE（GB+DH）≤AE（BQ+QD），即S四边形ABED≤AEBD，

∴当G、H重合时，即BD⊥AE时，等号成立，

∵AE=BD，∴S四边形ABED≤AE2，即线段AE最大时，四边形ABED的面积最大，

∵AE≤AC+CE，∴AE≤5+1，∴AE≤6，∴AE的最大值为6，

∴当A、C、E共线时，取等号，∴四边形ABED的面积的最大值为×62=18．