【题目】数学活动﹣旋转变换
(1)如图①,在△ABC中,∠ABC=130°,将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C,连接BB′,求∠A′B′B的大小;
(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=150°,AB=3,BC=5,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C,连接BB′,以A′为圆心,A′B′长为半径作圆.
①猜想:直线BB′与⊙A′的位置关系,并证明你的结论;
②连接A′B,求线段A′B的长度;
(3)如图③,在△ABC中,∠ABC=α(90°<α<180°),AB=m,BC=n,将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度(0°<2β<180°)得到△A′B′C,连接A′B和BB′,以A′为圆心,A′B′长为半径作圆,问:角α与角β满足什么条件时,直线BB′与⊙A′相切,请说明理由,并求此条件下线段A′B的长度(结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示)
【答案】
(1)
解:如图①中
,
∵△A′B′C是由△ABC旋转得到,
∴∠A′B′C=∠ABC=130°,CB=CB′,
∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=50°,
∴∠CBB′=∠CB′B=65°,
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°
(2)
解:①结论:直线BB′、是⊙A′的切线.理由:如图②中
,
∵∠A′B′C=∠ABC=150°,CB=CB′,
∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=60°,
∴∠CBB′=∠CB′B=60°,
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°.
∴AB′⊥BB′,
∴直线BB′、是⊙A′的切线.
②∵在RT△ABB′中,∵∠AB′B=90°,BB′=BC=5,AB′=AB=3,
∴A′B= =
(3)
解:如图③中
,
当α+β=180°时,直线BB′、是⊙A′的切线.
理由:∵∠A′B′C=∠ABC=α,CB=CB′,
∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=2β,
∴∠CBB′=∠CB′B= ,
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°.
∴AB′⊥BB′,
∴直线BB′、是⊙A′的切线.
在△CBB′中∵CB=CB′=n,∠BCB′=2β,
∴BB′=2nsinβ,
在RT△A′BB′中,A′B=
【解析】(1)根据∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C,只要求出∠A′B′B即可.(2)(Ⅰ)结论:直线BB′、是⊙A′的切线.只要证明∠A′B′B=90°即可.(Ⅱ)在RT△ABB′中,利用勾股定理计算即可.(3)如图③中,当α+β=180°时,直线BB′、是⊙A′的切线.只要证明∠A′B′B=90°即可解决问题.在△CBB′中求出BB′,再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可.本题考查圆的综合题、旋转不变性、勾股定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是熟练运用这些知识解决问题,充分利用旋转不变性,属于中考压轴题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC的面积为6,AC=3,现将△ABC沿AB所在直线翻折,使点C落在直线AD上的C′处,P为直线AD上的一点,则线段BP的长不可能是( )
A.3
B.4
C.5.5
D.10
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于点D,点E为OB的中点,连接CE并延长交⊙O于点F,点F恰好落在 的中点,连接AF并延长与CB的延长线相交于点G,连接OF.
(1)求证:OF= BG;
(2)若AB=4,求DC的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】问题背景:
如图①,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究线段AC,BC,CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处(如图②),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD,从而得出结论:AC+BC= CD.
简单应用:
(1)在图①中,若AC= ,BC=2 ,则CD= .
(2)如图③,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙上, = ,若AB=13,BC=12,求CD的长.
拓展规律:
(3)如图④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的长(用含m,n的代数式表示)
(4)如图⑤,∠ACB=90°,AC=BC,点P为AB的中点,若点E满足AE= AC,CE=CA,点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知反比例函数y= 的图象与直线y=﹣x+b都经过点A(1,4),且该直线与x轴的交点为B.
(1)求反比例函数和直线的解析式;
(2)求△AOB的面积
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC,OB与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1cm.温馨提示:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26, ).
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