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【题目】如图:抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD,
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求当x取多少时,S的值最大,最大是多少?

【答案】
(1)解:(1)∵OC=4,OD=2,

∴DM=6,

∴点M(2,6),

设y=a(x﹣2)2+6,代入(0,4)得:a=﹣

∴该抛物线解析式为y=﹣ (x﹣2)2+6;


(2)(2)设点P(x,﹣ (x﹣2)2+6),即(x,﹣ x2+2x+4),x>0,

过点P作x轴的垂线,交x轴于点E,

则PE=﹣ x2+2x+4,DE=x﹣2,

S= x(﹣ x2+2x+4+4)﹣ ×2×4﹣ (x﹣2)(﹣ x2+2x+4),

即S=﹣ x2+4x=﹣ (x﹣4)2+8,

∴当x=4时,S有最大值为8.


【解析】(1)由OC与OD的长,求出MD的长,确定出M坐标,设y=a(x﹣2)2+6,把C坐标代入求出a的值,即可确定出抛物线解析式;(2)由抛物线解析式设出P坐标,过点P做x轴的垂线,交x轴于点E,利用表示出的点P的坐标确定出线段PE、DE的长,用梯形OCPE的面积减去直角三角形OCD的面积和直角三角形PDE的面积,进而得出S与x的函数解析式,利用二次函数性质求出S最大值时x的值即可.

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