【题目】如图:抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD,
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求当x取多少时,S的值最大,最大是多少?
【答案】
(1)解:(1)∵OC=4,OD=2,
∴DM=6,
∴点M(2,6),
设y=a(x﹣2)2+6,代入(0,4)得:a=﹣ ,
∴该抛物线解析式为y=﹣ (x﹣2)2+6;
(2)(2)设点P(x,﹣ (x﹣2)2+6),即(x,﹣ x2+2x+4),x>0,
过点P作x轴的垂线,交x轴于点E,
则PE=﹣ x2+2x+4,DE=x﹣2,
S= x(﹣ x2+2x+4+4)﹣ ×2×4﹣ (x﹣2)(﹣ x2+2x+4),
即S=﹣ x2+4x=﹣ (x﹣4)2+8,
∴当x=4时,S有最大值为8.
【解析】(1)由OC与OD的长,求出MD的长,确定出M坐标,设y=a(x﹣2)2+6,把C坐标代入求出a的值,即可确定出抛物线解析式;(2)由抛物线解析式设出P坐标,过点P做x轴的垂线,交x轴于点E,利用表示出的点P的坐标确定出线段PE、DE的长,用梯形OCPE的面积减去直角三角形OCD的面积和直角三角形PDE的面积,进而得出S与x的函数解析式,利用二次函数性质求出S最大值时x的值即可.
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【题目】如图,P为平行四边形ABCD的边AD上的一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1 , S2 . 若S=3,则S1+S2的值为( )
A.24
B.12
C.6
D.3
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【题目】如图,方格纸中小正方形的边长为1,△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上,求:
(1)边AC,AB,BC的长;
(2)点C到AB边的距离;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】新农村建设前,某乡在一条笔直的公路旁依次有A、B、D、E、F五个村庄(每相邻两个村庄之间有农田).后来由于新农村建设需要,在该公路旁新建了C庄,已知C庄在A庄和F庄之间,B庄是A庄和C庄的中点,E庄是C庄和F庄的中点,D庄是B庄和E庄的中点.
(1)按题意画出大致示意图;
(2)若A庄和C庄相距4千米,C庄和F庄相距12千米,求C庄和D庄之间的距离;
(3)若A庄和F庄之间的距离是C庄和D庄之间距离的8倍,求A庄和C庄之间的距离与C庄和F庄之间的距离的比值是多少?
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【题目】如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
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【题目】联想与探索:
如图1,将线段A1A2本向右平移1个单位长度至B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分),在图2中,将折线A1A2A3向右平移1个单位长度至B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分).
(1)在图3中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位长度,从而得到一个封闭图形,并用阴影表示;
(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a,竖直方向长均为b) :S1= ,S2= ,S3= ;
(3)如图4,在一块长方形草地上,有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位长度,长方形水平方向长为a,竖直方向长为b),则空白部分表示的草地面积是多少?
(4)如图5,若在(3)中的草地上又有一条横向的曲小路(小路任何地方的宽度都是1个单位长度),则空白部分表示的草地面积是多少?
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,则图中全等的三角形的对数是______ .
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