Question

如图，△ABD、△CBD都是等边三角形，DE、BF分别是△ABD的两条高，DE、BF交于点G．
（1）求∠BGD的度数；
（2）连接CG，①求证：BG+DG=CG；②求的值．

Answer 1

解：（1）∵△ABD是等边三角形，E是AB中点，
∴∠ADE=∠BDE=30°，
∴∠CDG=∠CDB+∠BDE=60°+30°=90°，
同理∠CBG=90°，
∴∠BGD=360°-（60°+90°+90°）=120°；
（2）①证明：∵?CD=CB，CG=CG，
∴由勾股定理可得BG=DG，
∴△CBG≌△CDG（SSS），
∴∠DCG=∠BCG=∠BCD=30°，
∴在Rt△CGB和Rt△CGD中，BG=DG=CG，
∴BG+DG=CG；
②?设BG=x，由①得：CG=2x，
在Rt△CGB中，BC²=CG²-BG²=4x²-x²=3x²，
又∵AB=BC，
∴AB²=BC²=3x²，
则=．
分析：（1）由三角形ABD与三角形BCD都为等边三角形，且DE与BF为两条高，利用三线合一得到BF与DE为角平分线，得到∠BDE=∠DBF=30°，进而求出∠CDG=∠CBG=90°，在四边形BCDG中，利用内角和定理求出∠BGD的度数即可；
（2）①由DC=BC，CG=CG，利用勾股定理得到DG=BG，利用SSS得出三角形CDG与三角形BCG全等，确定出∠DCG=∠BCG=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得出BG=DG=GC，即可得证；②设BG=x，根据①得到CG=2x，在直角三角形CBG中，利用勾股定理表示出BC，即为AB，即可求出所求的比值．
点评：此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．