Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AB=10cm，若P从点B出发以2cm/s的速度向A移动，动点Q从A出发以1cm/s的速度向C移动．设P、Q同时分别从B、A同时出发，其中一点到达终点则P、Q均停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题．
（1）PQ∥BC时，求t的值；
（2）当t为何值时，△APQ与以AQ为腰的等腰三角形？

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：（1）如图1，先利用勾股定理计算出AC=6，根据平行线分线段成比例，由PQ∥BC得

PA

AB

=

AQ

AC

，即

10-2t

10

=

t

6

，然后解方程即可；
（2）作QH⊥PA于H，如图2，根据等腰三角形的性质得AH=PH=

1

2

AP=5-t，再证明Rt△AQH∽Rt△ABC，根据相似的性质得到

t

10

=

5-t

6

，然后解方程即可．

解答：解：（1）如图1，∵∠C=90°，BC=8，AB=10，
∴AC=

AB2-BC2

=6，
PB=2t，AQ=t，则AP=10-2t，
∵PQ∥BC，
∴

PA

AB

=

AQ

AC

，即

10-2t

10

=

t

6

，
∴t=

30

11

（s）；
（2）①当AQ=PQ时，作QH⊥PA于H，如图2，
∵△APQ是以AQ为腰的等腰三角形，
∴AH=PH=

1

2

AP=

1

2

（10-2t）=5-t，
∵∠QAH=∠BAC，
∴Rt△AQH∽Rt△ABC，
∴

AQ

AB

=

AH

AC

，即

t

10

=

5-t

6

，
∴t=

25

8

（s）．
②同理，当AQ=AP时，t=

10

3

s．
综上所述，当t=

25

8

或t=

10

3

s时，△APQ与以AQ为腰的等腰三角形．

点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了等腰三角形的判定．