Question

14．如图，若点P的坐标为（-2，2），过点P的一条直线交抛物线y=x²于A、B两点，当PA=AB时，点A的坐标是（-1，1）或（-3，9）．

Answer 1

分析 设A（m，m²），分别过点P、A、B作x轴垂线，垂足分别为点G、E、F，用m表示出OF和BF的长，根据点B在抛物线y=x²上，即可求出点A的坐标．

解答 解：设A（m，m²），
如图所示，分别过点P、A、B作x轴垂线，垂足分别为点G、E、F．
∵PA=AB，
∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE=EF，AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|，
∵GE=GO-EO=2+m，EO=-m，
∴OF=|2+m-（-m）|=|2+2m|，
∴OF=2m+2，
∵AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²-2，
∴B（2+2m，2m²-2）．
∵点B在抛物线y=x²上，
∴2m²-2=（2+2m）²
解得：m=1或-3，
当m=-1时，m²=1；当m=-3时，m²=9，
点A的坐标为（-1，1）或（-3，9）．
故答案为（-1，1）或（-3，9）．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是正确地作出辅助线，求出点B的坐标，此题有一定的难度．