Question

16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，FG⊥BC于点G．求证：AE=FG．

Answer 1

分析 根据角平分线上的点到两边的距离相等可得：FG=FA；则只要在确定FA与AE的关系即可确定AE与FG之间的关系；在直角三角形AFC中∠AFC+∠ACF=90°，在直角三角形CDE中，∠DEC+∠ECD=90°，根据角平分线的性质可知：∠ACF=∠DCE，则∠AFC=∠DEC，又知∠AEF=∠DEC，则∠AFC=∠AEF，所以AE=FA，则AE=FG．

解答 证明：∵CF平分∠ACB，FA⊥AC，FG⊥BC
∴FG=FA
∵∠AFC+∠ACF=90°，∠DEC+∠ECD=90°，且∠ACF=∠ECD
∴∠AFC=∠DEC
∵∠AEF=∠DEC
∴∠AFC=∠AEF
∴AE=FA
∴AE=FG．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质；解题时利用了AF这个中间量进行了等量代换是解答本题的关键．